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beweisen cot^2(θ)(1-cos^2(θ))=cos^2(θ)

Lösung

beweisen

cot^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = cos^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cot^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = cos^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cot^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Drücke mit sin, cos aus

(1 - cos^{2} (θ)) cot^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 - cos^{2} (θ)) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Vereinfache

(1 - cos^{2} (θ)) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

(1 - cos^{2} (θ)) (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} (- cos^{2} (θ) + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 - cos ^{2} ( θ ) ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (\frac{π}{3} + x) - cos (\frac{π}{6} + x) = sin (x)

p ro v e csc (2 x) - cot (2 x) = tan (x)

p ro v e tan^{2} (θ) = csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{3}) = 0

p ro v e tanh^{2} (x) + sech^{2} (x) = 1