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beweisen tan^2(θ)=csc^2(θ)tan^2(θ)-1

Lösung

beweisen

tan^{2} (θ) = csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (θ) = csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

Manipuliere die rechte Seite

csc^{2} (θ) tan^{2} (θ) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + csc^{2} (θ) tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{cos ( θ )}

= tan (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) tan (θ)

Vereinfache

tan (θ) tan (θ) : tan^{2} (θ)

tan (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= tan^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (x + \frac{π}{6}) + sin (x - \frac{π}{3}) = 0

p ro v e tanh^{2} (x) + sech^{2} (x) = 1

p ro v e csc^{2} (u) - cos (u) sec (u) = cot^{2} (u)

p ro v e \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} + sin (x) = csc (x)

p ro v e - csc^{2} (x) cos^{2} (x) = 1 - csc^{2} (x)