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Popular Trigonometría >

verificar sec(t)-(cos(t))/(1+sin(t))=tan(t)

Solución

verificar

sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = tan (t)

Solución

Verdadero

Pasos de solución

sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = tan (t)

Manipular el lado derecho

sec (t) - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )}

Expresar con seno, coseno

- \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} + sec (t)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} + \frac{1}{cos ( t )}

Simplificar

- \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} + \frac{1}{cos ( t )} : \frac{- cos ^{2} ( t ) + sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

- \frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} + \frac{1}{cos ( t )}

Mínimo común múltiplo de

1 + sin (t), cos (t) : cos (t) (sin (t) + 1)

1 + sin (t), cos (t)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

1 + sin (t)

cos (t)

= cos (t) (sin (t) + 1)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos (t)

\frac{cos ( t )}{1 + sin ( t )} = \frac{cos ( t ) cos ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )} = \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

Para

\frac{1}{cos ( t )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin (t) + 1

\frac{1}{cos ( t )} = \frac{1 \cdot ( sin ( t ) + 1 )}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )} = \frac{sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

= - \frac{cos ^{2} ( t )}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )} + \frac{sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( t ) + sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

= \frac{- cos ^{2} ( t ) + sin ( t ) + 1}{cos ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( t ) + sin ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

\frac{1 - cos ^{2} ( t ) + sin ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )}

Utilizar la identidad pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( t ) + sin ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )}

Simplificar

\frac{sin ^{2} ( t ) + sin ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )} : \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

\frac{sin ^{2} ( t ) + sin ( t )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )}

Factorizar

sin^{2} (t) + sin (t) : sin (t) (sin (t) + 1)

sin^{2} (t) + sin (t)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (t) = sin (t) sin (t)

= sin (t) sin (t) + sin (t)

Factorizar el termino común

sin (t)

= sin (t) (sin (t) + 1)

= \frac{sin ( t ) ( sin ( t ) + 1 )}{( 1 + sin ( t ) ) cos ( t )}

Eliminar los terminos comunes:

sin (t) + 1

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{cos ( t )}

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (t)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero

Ejemplos populares

verificar sin^2(x)csc^2(x)-sin^2(x)=cos^2(x)

verificar (sec(u)-tan(u))(csc(u)+1)=cot(u)

verificar sin(x)=cos(x-pi/2)

verificar 1/(1+cos(x))=csc^2(x)-csc(x)cot(x)

verificar 1/(1-sin(x))-1/(1+sin(x))=(2tan(x))/(cos(x))