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beweisen (csc^2(x))/(cot^2(x))=1+tan^2(x)

Lösung

beweisen

\frac{csc ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )} = 1 + tan^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )} = 1 + tan^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{csc ^{2} ( x )}{cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Fasse zusammen

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

1 + tan^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

1 + tan^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (\frac{x}{2}) = \frac{1 + cos ( x )}{2}

p ro v e 1 + \frac{1}{tan ^{2} ( θ )} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

p ro v e sin^{2} (x) \cdot (1 + cot^{2} (x)) = 1

p ro v e cos (x + 1) = cos (- x - 1)

p ro v e cot^{2} (x) + 1 = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}