English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 1/(1+cos(θ))+1/(1-cos(θ))=2csc^2(θ)

פתרון

prove

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

פתרון

נכון

צעדי פתרון

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

עבוד על אגף שמאל

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

פשט את:

\frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

\frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )}

1 + cos (θ), 1 - cos (θ)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

(cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

1 + cos (θ), 1 - cos (θ)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear either in

1 + cos (θ)

1 - cos (θ)

= (cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

(cos (θ) + 1) (- cos (θ) + 1)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

- cos (θ) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{1 + cos ( θ )}

עבור

\frac{1}{1 + cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( - cos ( θ ) + 1 )}{( 1 + cos ( θ ) ) ( - cos ( θ ) + 1 )} = \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

cos (θ) + 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{1}{1 - cos ( θ )}

עבור

\frac{1}{1 - cos ( θ )} = \frac{1 \cdot ( cos ( θ ) + 1 )}{( 1 - cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) + 1 )} = \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{- cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )} + \frac{cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- cos ( θ ) + 1 + cos ( θ ) + 1}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1 = 2

- cos (θ) + 1 + cos (θ) + 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= - cos (θ) + cos (θ) + 1 + 1

- cos (θ) + cos (θ) = 0 :

חבר איברים דומים

= 1 + 1

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= 2

= \frac{2}{( cos ( θ ) + 1 ) ( - cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

Rewrite using trig identities

\frac{2}{( 1 + cos ( θ ) ) ( 1 - cos ( θ ) )}

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

הרחב את:

1 - cos^{2} (θ)

(1 + cos (θ)) (1 - cos (θ))

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

הפעל את חוק הפרש הריבועים

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - cos^{2} (θ)

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= 1 - cos^{2} (θ)

= \frac{2}{1 - cos ^{2} ( θ )}

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{sin ^{2} ( θ )}

Rewrite using trig identities

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

פשט

\frac{2}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{2}{\frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{2 csc ^{2} ( θ )}{1}

\frac{a}{1} = a

הפעל את החוק

= 2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

2 csc^{2} (θ)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove sin(a+b)-sin(a-b)=2cos(a)sin(b)

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos (a) sin (b)

prove sin(2pi-x)=-sin(x)

p ro v e sin (2 π - x) = - sin (x)

prove sin^2(a)+sin^2(a)tan^2(a)=tan^2(a)

p ro v e sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a) = tan^{2} (a)

prove sin(b)+cos(b)cot(b)=csc(b)

p ro v e sin (b) + cos (b) cot (b) = csc (b)

prove (sec(x)-cos(x))/(sin^2(x))=sec(x)

p ro v e \frac{sec ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = sec (x)