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dimostrare sin^2(a)+sin^2(a)tan^2(a)=tan^2(a)

Soluzione

dimostrare

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a) = tan^{2} (a)

Vero

Fasi della soluzione

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a) = tan^{2} (a)

Manipolando il lato sinistro

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) tan^{2} (a)

Usa l'identità pitagorica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= sin^{2} (a) + sin^{2} (a) (sec^{2} (a) - 1)

Semplifica

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) (sec^{2} (a) - 1) : sin^{2} (a) sec^{2} (a)

sin^{2} (a) + sin^{2} (a) (sec^{2} (a) - 1)

Espandi

sin^{2} (a) (sec^{2} (a) - 1) : sin^{2} (a) sec^{2} (a) - sin^{2} (a)

sin^{2} (a) (sec^{2} (a) - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin^{2} (a), b = sec^{2} (a), c = 1

= sin^{2} (a) sec^{2} (a) - sin^{2} (a) \cdot 1

= sin^{2} (a) sec^{2} (a) - 1 \cdot sin^{2} (a)

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (a) = sin^{2} (a)

= sin^{2} (a) sec^{2} (a) - sin^{2} (a)

= sin^{2} (a) + sin^{2} (a) sec^{2} (a) - sin^{2} (a)

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (a) - sin^{2} (a) = 0

= sin^{2} (a) sec^{2} (a)

= sin^{2} (a) sec^{2} (a)

= sin^{2} (a) sec^{2} (a)

Esprimere con sen e cos

sec^{2} (a) sin^{2} (a)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( a )})^{2} sin^{2} (a)

Semplifica

(\frac{1}{cos ( a )})^{2} sin^{2} (a) : \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2} sin^{2} (a)

(\frac{1}{cos ( a )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

(\frac{1}{cos ( a )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( a )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( a )} sin^{2} (a)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (a) = sin^{2} (a)

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

= \frac{sin ( a )}{cos ( a )} \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( a ) tan ( a )}{cos ( a )}

= tan (a) \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (a) tan (a)

Semplifica

tan (a) tan (a) : tan^{2} (a)

tan (a) tan (a)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (a) tan (a) = tan^{1 + 1} (a)

= tan^{1 + 1} (a)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (a)

tan^{2} (a)

tan^{2} (a)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (b) + cos (b) cot (b) = csc (b)

p ro v e \frac{sec ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = sec (x)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 x )}{2 sin ( x )} = sin (x)

p ro v e tan (\frac{3 π}{2} - x) = cot (x)

p ro v e \frac{3 csc ( - x )}{sec ( - x )} = - 3 cot (x)