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beweisen (cos(u))/(1-sin(u))=sec(u)+tan(u)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )} = sec (u) + tan (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )} = sec (u) + tan (u)

Manipuliere die rechte Seite

sec (u) + tan (u)

Drücke mit sin, cos aus

sec (u) + tan (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( u )} + tan (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )} : \frac{1 + sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1}{cos ( u )} + \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{1 + sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{1 + sin ( u )}{cos ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Multipliziere mit

\frac{1 - sin ( u )}{1 - sin ( u )}

= \frac{( 1 + sin ( u ) ) ( 1 - sin ( u ) )}{( 1 - sin ( u ) ) cos ( u )}

Multipliziere aus

(1 + sin (u)) (1 - sin (u)) : 1 - sin^{2} (u)

(1 + sin (u)) (1 - sin (u))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (u)

= 1^{2} - sin^{2} (u)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (u)

= \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{( 1 - sin ( u ) ) cos ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

1 - sin^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{( 1 - sin ( u ) ) cos ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (u)

= \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )}

= \frac{cos ( u )}{1 - sin ( u )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (x - \frac{3 π}{2}) = - sin (x)

p ro v e sin^{2} (x) sec^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

p ro v e cos (a + b) - cos (a - b) = - 2 sin (a) sin (b)

p ro v e (tan (β) + sec (β)) (1 - sin (β)) = cos (β)

p ro v e sin (α + β) = sin (α) cos (β) + sin (β) cos (α)