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beweisen (1+tan^2(u))(1-sin^2(u))=1

Lösung

beweisen

(1 + tan^{2} (u)) (1 - sin^{2} (u)) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + tan^{2} (u)) (1 - sin^{2} (u)) = 1

Manipuliere die linke Seite

(1 + tan^{2} (u)) (1 - sin^{2} (u))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + tan^{2} (u)) (1 - sin^{2} (u))

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= (1 + tan^{2} (u)) cos^{2} (u)

= (1 + tan^{2} (u)) cos^{2} (u)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + tan^{2} (u)) cos^{2} (u)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}) cos^{2} (u)

Vereinfache

(1 + (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}) cos^{2} (u) : cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

(1 + (\frac{sin ( u )}{cos ( u )})^{2}) cos^{2} (u)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (u) (\frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} + 1)

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

1 + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} cos^{2} (u)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u ) ) cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec^{3} (x) = \frac{1}{cos ^{3} ( x )}

p ro v e 4 cos^{2} (B) - 4 sin^{2} (B) = 4 - 8 sin^{2} (B)

p ro v e cos (4 A) = 8 cos^{4} (A) - 8 cos^{2} (A) + 1

p ro v e cos (4 B) = 1 - 8 sin^{2} (B) + 8 sin^{4} (B)

p ro v e sin (\frac{π}{2} - u) = cos (u)