English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

доказывать tan(θ)+cot(θ)= 2/(sin(2θ))

Решение

доказывать

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Верно

Шаги решения

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Манипуляции с левой стороны

tan (θ) + cot (θ)

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

cot (θ) + tan (θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Упростить

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Наименьший Общий Множитель

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из факторов, которые появляются либо в

sin (θ)

либо

cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

sin (θ) cos (θ)

Для

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Для

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Перепишите используя тригонометрические тождества

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Используйте тождество двойного угла:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

Примените правило дробей:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

После упрощения получаем

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Мы показали, что две стороны могут принимать одинаковую форму

\Rightarrow Верно