English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

доказывать cos(2α)=-1+2/(1+tan^2(α))

Решение

доказывать

cos (2 α) = - 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

Верно

Шаги решения

cos (2 α) = - 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

Манипуляции с правой стороны

- 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

- 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{2}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}}

Упростить

- 1 + \frac{2}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

- 1 + \frac{2}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}}

\frac{2}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}} = \frac{2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

\frac{2}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{2}{1 + \frac{s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )}}

Присоединить

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

к одной дроби:

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Умножьте:

1 \cdot cos^{2} (α) = cos^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{2}{\frac{c o s ^{2} ( α ) + s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )}}

Примените правило дробей:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= - 1 + \frac{2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Преобразуйте элемент в дробь:

1 = \frac{1 ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= - \frac{1 \cdot ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )} + \frac{2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) + 2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Умножьте:

1 \cdot (cos^{2} (α) + sin^{2} (α)) = (cos^{2} (α) + sin^{2} (α))

= \frac{- ( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) + 2 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Расширить

- (cos^{2} (α) + sin^{2} (α)) + 2 cos^{2} (α) : cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

- (cos^{2} (α) + sin^{2} (α)) + 2 cos^{2} (α)

- (cos^{2} (α) + sin^{2} (α)) : - cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

- (cos^{2} (α) + sin^{2} (α))

Расставьте скобки

= - (cos^{2} (α)) - (sin^{2} (α))

Применение правил минус-плюс

+ (- a) = - a

= - cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

= - cos^{2} (α) - sin^{2} (α) + 2 cos^{2} (α)

Добавьте похожие элементы:

- cos^{2} (α) + 2 cos^{2} (α) = cos^{2} (α)

= cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Перепишите используя тригонометрические тождества

\frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( α ) - sin ^{2} ( α )}{1}

Примените правило

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (α) - sin^{2} (α)

Используйте тождество двойного угла:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 α)

= cos (2 α)

Мы показали, что две стороны могут принимать одинаковую форму

\Rightarrow Верно