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Populaire Trigonométrie >

prouver sin(-x)cos(pi/2-x)=(cos(2x)-1)/2

Solution

prouver

sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

Solution

vrai

étapes des solutions

sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

En manipulant le côté gauche

sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x)

Utiliser l'identité de l'angle négatif:

sin (- x) = - sin (x)

= cos (\frac{π}{2} - x) (- sin (x))

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (\frac{π}{2} - x)

Utiliser l'identité de la différence de l'angle :

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Simplifier

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x) : sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) + sin (\frac{π}{2}) sin (x)

cos (\frac{π}{2}) cos (x) = 0

cos (\frac{π}{2}) cos (x)

Simplifier

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

cos (\frac{π}{2}) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

sin (\frac{π}{2}) sin (x) = sin (x)

sin (\frac{π}{2}) sin (x)

Simplifier

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

sin (\frac{π}{2}) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= 0 + sin (x)

0 + sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x) (- sin (x))

Simplifier

sin (x) (- sin (x)) : - sin^{2} (x)

sin (x) (- sin (x))

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= - sin (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= - sin^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= - sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x)

En manipulant le côté droit

\frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - 2 sin ^{2} ( x ) - 1}{2}

Simplifier

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( x ) - 1}{2} : - sin^{2} (x)

\frac{1 - 2 sin ^{2} ( x ) - 1}{2}

1 - 2 sin^{2} (x) - 1 = - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Grouper comme termes

= - 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= - 2 sin^{2} (x)

= \frac{- 2 sin ^{2} ( x )}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 sin ^{2} ( x )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= - sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x)

= - sin^{2} (x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver cos(b)+sin(b)tan(b)=sec(b)

p ro v e cos (b) + sin (b) tan (b) = sec (b)

prouver 2sin(2θ)(1-2sin^2(θ))=sin(4θ)

p ro v e 2 sin (2 θ) (1 - 2 sin^{2} (θ)) = sin (4 θ)

prouver ((cos^2(x)))/(1-sin(x))=1+sin(x)

p ro v e \frac{( cos ^{2} ( x ) )}{1 - sin ( x )} = 1 + sin (x)

prouver sin(3x)=sin(x)(3-4sin^2(x))

p ro v e sin (3 x) = sin (x) (3 - 4 sin^{2} (x))

prouver 1+sec(θ)tan(θ)sin(θ)=sec^2(θ)

p ro v e 1 + sec (θ) tan (θ) sin (θ) = sec^{2} (θ)