English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove cot^2(v/2)=((sec(v)+1))/((sec(v)-1))

פתרון

prove

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{( sec ( v ) + 1 )}{( sec ( v ) - 1 )}

פתרון

נכון

צעדי פתרון

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{sec ( v ) + 1}{sec ( v ) - 1}

u = \frac{v}{2} :

נניח ש

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

הוכח ש:

נכון

cot^{2} (u) = \frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

עבוד על אגף ימין

\frac{sec ( 2 u ) + 1}{sec ( 2 u ) - 1}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{1 + sec ( 2 u )}{- 1 + sec ( 2 u )}

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

פשט את:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{- cos ( 2 u ) + 1}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{- 1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

אחד את:

\frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

- 1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

:המר את המספרים לשברים

= - \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- 1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u) :

הכפל

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

אחד את:

\frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 u )}

1 = \frac{1 cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u )}{cos ( 2 u )} + \frac{1}{cos ( 2 u )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

1 \cdot cos (2 u) = cos (2 u) :

הכפל

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{cos ( 2 u )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}{\frac{- c o s ( 2 u ) + 1}{c o s ( 2 u )}}

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

:חלק את השברים

= \frac{( cos ( 2 u ) + 1 ) cos ( 2 u )}{cos ( 2 u ) ( - cos ( 2 u ) + 1 )}

cos (2 u) :

בטל את הגורמים המשותפים

= \frac{cos ( 2 u ) + 1}{- cos ( 2 u ) + 1}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

= \frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

Rewrite using trig identities

\frac{1 + cos ( 2 u )}{1 - cos ( 2 u )}

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

פשט את:

\frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{1 - ( 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}

1 - (2 cos^{2} (u) - 1)

הרחב את:

- 2 cos^{2} (u) + 2

1 - (2 cos^{2} (u) - 1)

- (2 cos^{2} (u) - 1) : - 2 cos^{2} (u) + 1

- (2 cos^{2} (u) - 1)

פתח סוגריים

= - (2 cos^{2} (u)) - (- 1)

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (u) + 1

= 1 - 2 cos^{2} (u) + 1

1 - 2 cos^{2} (u) + 1

פשט את:

- 2 cos^{2} (u) + 2

1 - 2 cos^{2} (u) + 1

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 2 cos^{2} (u) + 1 + 1

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= - 2 cos^{2} (u) + 2

= - 2 cos^{2} (u) + 2

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{- 2 cos ^{2} ( u ) + 2}

- 2 cos^{2} (u) + 2

פרק לגורמים את:

2 (- cos^{2} (u) + 1)

- 2 cos^{2} (u) + 2

כתוב מחדש בתור

= - 2 cos^{2} (u) + 2 \cdot 1

2

הוצא את הגורם המשותף

= 2 (- cos^{2} (u) + 1)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2 ( - cos ^{2} ( u ) + 1 )}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= \frac{cos ^{2} ( u )}{( - cos ^{2} ( u ) + 1 )}

(- a) = - a

:הסר סוגריים

= \frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{- cos ^{2} ( u ) + 1}

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u )}{sin ^{2} ( u )}

Rewrite using trig identities

= \frac{cos ( u )}{sin ( u )} \cdot \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

:Use the basic trigonometric identity

\frac{cos ( u ) cot ( u )}{sin ( u )}

= cot (u) \frac{cos ( u )}{sin ( u )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

:Use the basic trigonometric identity

cot (u) cot (u)

cot (u) cot (u)

פשט את:

cot^{2} (u)

cot (u) cot (u)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

cot (u) cot (u) = cot^{1 + 1} (u)

= cot^{1 + 1} (u)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= cot^{2} (u)

cot^{2} (u)

cot^{2} (u)

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{sec ( v ) + 1}{sec ( v ) - 1}

לכן

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove cot(3)=(cos(3))/(sin(3))

p ro v e cot (3) = \frac{cos ( 3 )}{sin ( 3 )}

prove cos(2θ)-cos(θ)+1=0

p ro v e cos (2 θ) - cos (θ) + 1 = 0

prove (-sin(-a))/(cos(-a))=tan(a)

p ro v e \frac{- sin ( - a )}{cos ( - a )} = tan (a)

prove (csc(z))/(sec(z))=cot(z)

p ro v e \frac{csc ( z )}{sec ( z )} = cot (z)

prove 2cos(x)sin(x)=sin(2x)

p ro v e 2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)