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verificar (sin^2(x)-1)^2=cos(2x)+sin^4(x)

Solución

verificar

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Verdadero

Pasos de solución

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Manipular el lado derecho

(sin^{2} (x) - 1)^{2}

Expandir

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1 + sin^{2} (x))^{2}

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin^{2} (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Simplificar

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar la regla

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

(sin^{2} (x))^{2} = sin^{4} (x)

(sin^{2} (x))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= sin^{2 \cdot 2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 + sin^{4} (x) - 2 sin^{2} (x)

Manipular el lado izquierdo

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

Se demostró que ambos lados pueden tomar la misma forma

\Rightarrow Verdadero