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beweisen (sin^2(x)-1)^2=cos(2x)+sin^4(x)

Lösung

beweisen

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Manipuliere die linke Seite

(sin^{2} (x) - 1)^{2}

Multipliziere aus

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1 + sin^{2} (x))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin^{2} (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Vereinfache

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

(sin^{2} (x))^{2} = sin^{4} (x)

(sin^{2} (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= sin^{2 \cdot 2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 + sin^{4} (x) - 2 sin^{2} (x)

Manipuliere die rechte Seite

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) + 1

p ro v e sin^{2} (t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t)

p ro v e tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

p ro v e 4 sin (x) cos (x) cos (2 x) = sin (4 x)

p ro v e 2 cot (x) sin (x) = 2 cos (x)