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beweisen cos(θ+pi/4)=(sqrt(2))/2 (cos(θ)-sin(θ))

Lösung

beweisen

cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos (θ) - sin (θ))

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (cos (θ) - sin (θ))

Manipuliere die linke Seite

cos (θ + \frac{π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ + \frac{π}{4})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (θ) cos (\frac{π}{4}) - sin (θ) sin (\frac{π}{4})

Vereinfache

cos (θ) cos (\frac{π}{4}) - sin (θ) sin (\frac{π}{4}) : \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

cos (θ) cos (\frac{π}{4}) - sin (θ) sin (\frac{π}{4})

cos (θ) cos (\frac{π}{4}) = \frac{2 cos ( θ )}{2}

cos (θ) cos (\frac{π}{4})

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( θ )}{2}

sin (θ) sin (\frac{π}{4}) = \frac{2 sin ( θ )}{2}

sin (θ) sin (\frac{π}{4})

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( θ )}{2}

= \frac{2 cos ( θ )}{2} - \frac{2 sin ( θ )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

= \frac{2 cos ( θ ) - 2 sin ( θ )}{2}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2}{2} (cos (θ) - sin (θ))

Vereinfache

= \frac{( cos ( θ ) - sin ( θ ) ) 2}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 5 cos^{2} (x) + 7 sin^{2} (x) - 5 = 2 sin^{2} (x)

p ro v e csc (2 x) = \frac{sec ( x ) csc ( x )}{2}

p ro v e sec (2 x) = \frac{( sec ^{2} ( x ) )}{2 - sec ^{2} ( x )}

p ro v e sin (x) = 0

p ro v e sin (x) = 1