English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

beweisen (cot^2(x)-1)/(2cot(x))=cot(2x)

Lösung

beweisen

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{2 cot ( x )} = cot (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{2 cot ( x )} = cot (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{2 cot ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + cot ^{2} ( x )}{2 cot ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{2 cos ( x )}{sin ( x )}

2 \cdot \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 2}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{2 c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} ) sin ( x )}{cos ( x ) \cdot 2}

Füge

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} sin ( x )}{2 cos ( x )}

Multipliziere

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} sin (x) : \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ( x )}}{2 cos ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x ) \cdot 2}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2 cos ( x ) sin ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (θ) = \frac{sec ( θ )}{tan ( θ )}

p ro v e \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )} = cot (x)

p ro v e - tan (t) - \frac{cos ( t )}{sin ( t ) - 1} = sec (x)

p ro v e \frac{cot ( x )}{tan ( x ) sec ( x )} = csc (x) - 1

p ro v e cos (\frac{π}{2} - x) cot (x) = cos (x)