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beweisen (sec(x))/(csc^2(x))=sec(x)-cos(x)

Lösung

beweisen

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sec (x) - cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sec (x) - cos (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )} cos ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

cos (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{c o s ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

sec (x) - cos (x)

Drücke mit sin, cos aus

- cos (x) + sec (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

Vereinfache

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) cos (x) + 1 = - cos^{2} (x) + 1

- cos (x) cos (x) + 1

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (1 - cos (x)) = cos (x) - 1

p ro v e cos^{2} (x) = 1 + cos (2 x)

p ro v e sec (\frac{π}{4} + x) sec (\frac{π}{4} - x) = 2 sec (2 x)

p ro v e 2 sin^{3} (x) cos (x) + 2 sin (x) cos^{3} (x) = sin (2 x)

p ro v e tan^{2} (α) (1 - sin^{2} (α)) = sin^{2} (α)