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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cos(a))/(1-sin(a))-tan(a)=sec(a)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - tan (a) = sec (a)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - tan (a) = sec (a)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - tan (a)

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - tan (a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Vereinfache

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - \frac{sin ( a )}{cos ( a )} : \frac{cos ^{2} ( a ) - sin ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 - sin (a), cos (a) : cos (a) (- sin (a) + 1)

1 - sin (a), cos (a)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 - sin (a)

oder

cos (a)

auftauchen.

= cos (a) (- sin (a) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos (a) (- sin (a) + 1)

Für

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (a)

\frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} = \frac{cos ( a ) cos ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )} = \frac{cos ^{2} ( a )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( a )}{cos ( a )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (a) + 1

\frac{sin ( a )}{cos ( a )} = \frac{sin ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( a )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )} - \frac{sin ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( a ) - sin ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( a ) - sin ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

= \frac{cos ^{2} ( a ) - ( 1 - sin ( a ) ) sin ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( a ) - ( 1 - sin ( a ) ) sin ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( a ) - ( 1 - sin ( a ) ) sin ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )}

Vereinfache

\frac{1 - sin ^{2} ( a ) - ( 1 - sin ( a ) ) sin ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )} : \frac{1}{cos ( a )}

\frac{1 - sin ^{2} ( a ) - ( 1 - sin ( a ) ) sin ( a )}{( 1 - sin ( a ) ) cos ( a )}

Multipliziere aus

1 - sin^{2} (a) - (1 - sin (a)) sin (a) : - sin (a) + 1

1 - sin^{2} (a) - (1 - sin (a)) sin (a)

= 1 - sin^{2} (a) - sin (a) (1 - sin (a))

Multipliziere aus

- sin (a) (1 - sin (a)) : - sin (a) + sin^{2} (a)

- sin (a) (1 - sin (a))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (a), b = 1, c = sin (a)

= - sin (a) \cdot 1 - (- sin (a)) sin (a)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (a) + sin (a) sin (a)

Vereinfache

- 1 \cdot sin (a) + sin (a) sin (a) : - sin (a) + sin^{2} (a)

- 1 \cdot sin (a) + sin (a) sin (a)

1 \cdot sin (a) = sin (a)

1 \cdot sin (a)

Multipliziere:

1 \cdot sin (a) = sin (a)

= sin (a)

sin (a) sin (a) = sin^{2} (a)

sin (a) sin (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (a) sin (a) = sin^{1 + 1} (a)

= sin^{1 + 1} (a)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (a)

= - sin (a) + sin^{2} (a)

= - sin (a) + sin^{2} (a)

= 1 - sin^{2} (a) - sin (a) + sin^{2} (a)

Vereinfache

1 - sin^{2} (a) - sin (a) + sin^{2} (a) : - sin (a) + 1

1 - sin^{2} (a) - sin (a) + sin^{2} (a)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (a) - sin (a) + sin^{2} (a) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (a) + sin^{2} (a) = 0

= - sin (a) + 1

= - sin (a) + 1

= \frac{- sin ( a ) + 1}{cos ( a ) ( - sin ( a ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- sin (a) + 1

= \frac{1}{cos ( a )}

= \frac{1}{cos ( a )}

= \frac{1}{cos ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( a )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( a )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( a )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (a)

sec (a)

sec (a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(θ/2)+cot(θ/2)=2csc(θ)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) + cot (\frac{θ}{2}) = 2 csc (θ)

beweisen sin^2(2θ)=4sin^2(θ)cos^2(θ)

p ro v e sin^{2} (2 θ) = 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

beweisen (cos(4x)+cos(6x))/(sin(4x)-sin(6x))=-cot(x)

p ro v e \frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )} = - cot (x)

beweisen 2sin^2(x)=(1-cos(2x))

p ro v e 2 sin^{2} (x) = (1 - cos (2 x))

beweisen 2sin(4x)=4sin(2x)cos(2x)

p ro v e 2 sin (4 x) = 4 sin (2 x) cos (2 x)