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beweisen tan^2(θ)=sec(θ)csc(θ)tan(θ)-1

Lösung

beweisen

tan^{2} (θ) = sec (θ) csc (θ) tan (θ) - 1

Wahr

Schritte zur Lösung

tan^{2} (θ) = sec (θ) csc (θ) tan (θ) - 1

Manipuliere die rechte Seite

sec (θ) csc (θ) tan (θ) - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + csc (θ) sec (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - 1 + \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

- 1 + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ ) cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= \frac{1 \cdot 1}{cos ( θ ) cos ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{cos ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{cos ( θ )}

= tan (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) tan (θ)

Vereinfache

tan (θ) tan (θ) : tan^{2} (θ)

tan (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= tan^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (sin (x) + cos (x))^{2} = 1 + 2 cos (x)

p ro v e \frac{csc ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos^{2} (x)

p ro v e csc (s) - sin (s) = cos (s) cot (s)

p ro v e \frac{( 4 sin ^{2} ( x ) )}{tan ^{2} ( x )} = 4 cos^{2} (x)

p ro v e \frac{tan ( 2 x ) + tan ( x )}{1 - tan ( 2 x ) tan ( x )} = tan (3 x)