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Beliebt Trigonometrie >

beweisen csc(x)*(sin(x)+tan(x))=1+sec(x)

Lösung

beweisen

csc (x) \cdot (sin (x) + tan (x)) = 1 + sec (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (x) (sin (x) + tan (x)) = 1 + sec (x)

Manipuliere die linke Seite

csc (x) (sin (x) + tan (x))

Drücke mit sin, cos aus

(sin (x) + tan (x)) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) csc (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )}

Vereinfache

(sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

(sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) \frac{1}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} )}{sin ( x )}

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Multipliziere:

1 \cdot (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) = (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

= (sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Entferne die Klammern:

(a) = a

= sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Füge

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) c o s ( x ) + s i n ( x )}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= \frac{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1 + \frac{1}{s e c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{s e c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{s e c ( x )} ) sec ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{1}{sec ( x )}

zusammen:

\frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

1 + \frac{1}{sec ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sec ( x )}{sec ( x )}

= \frac{1 \cdot sec ( x )}{sec ( x )} + \frac{1}{sec ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sec (x) = sec (x)

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

= \frac{\frac{s e c ( x ) + 1}{s e c ( x )} sec ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )} sec (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) sec ( x )}{sec ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (x)

= sec (x) + 1

sec (x) + 1

sec (x) + 1

= 1 + sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1-(1-cos^2(x))/(1-cos(x))=-cos(x)

p ro v e 1 - \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{1 - cos ( x )} = - cos (x)

beweisen (sin(4θ)+sin(2θ))/(cos(4θ)+cos(2θ))=tan(3θ)

p ro v e \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

beweisen (sec(x)+tan(x))^2=((csc(x)+1))/(csc(x)-1)

p ro v e (sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{( csc ( x ) + 1 )}{csc ( x ) - 1}

beweisen (sin(x))/(-cos(x))=sin(x)+tan(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{- cos ( x )} = sin (x) + tan (x)

beweisen (cot(X)-csc(X))(cot(X)+csc(X))=-1

p ro v e (cot (X) - csc (X)) (cot (X) + csc (X)) = - 1