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beweisen cos(θ)=sec(θ)-(tan^2(θ))/(sec(θ))

Lösung

beweisen

cos (θ) = sec (θ) - \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ) = sec (θ) - \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

Manipuliere die rechte Seite

sec (θ) - \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

- \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )} + sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sec ( θ )} + sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} + \frac{1}{cos ( θ )}

Vereinfache

- \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} + \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

- \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} + \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2} cos ( θ )}{1}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )} cos ( θ )}{1}

Multipliziere

\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ) : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ( θ )}}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + 1}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

p ro v e 4 + 4 cos (2 x) = 8 cos^{2} (x)

p ro v e \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{2} = csc (2 θ)

p ro v e sin (\frac{π}{2} + x) = - cos (x)

p ro v e tan (\frac{5 π}{12}) = tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{6})