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证明 tan((5pi)/(12))=tan(pi/4+pi/6)

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解答

证明 tan(125π​)=tan(4π​+6π​)

解答

真
求解步骤
tan(125π​)=tan(4π​+6π​)
调整左侧tan(125π​)
化简 tan(125π​):2+3​
tan(125π​)
使用三角恒等式改写:1−tan(4π​)tan(6π​)tan(4π​)+tan(6π​)​
tan(125π​)
将 tan(125π​) 写为 tan(4π​+6π​)=tan(4π​+6π​)
使用角和恒等式: tan(s+t)=1−tan(s)tan(t)tan(s)+tan(t)​=1−tan(4π​)tan(6π​)tan(4π​)+tan(6π​)​
=1−tan(4π​)tan(6π​)tan(4π​)+tan(6π​)​
使用以下普通恒等式:tan(4π​)=1
tan(4π​)
tan(x) 周期表(周期为 πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​tan(x)033​​13​±∞−3​−1−33​​​​
=1
使用以下普通恒等式:tan(6π​)=33​​
tan(6π​)
tan(x) 周期表(周期为 πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​tan(x)033​​13​±∞−3​−1−33​​​​
=33​​
=1−1⋅33​​1+33​​​
化简 1−1⋅33​​1+33​​​:2+3​
1−1⋅33​​1+33​​​
乘以:1⋅33​​=33​​=1−33​​1+33​​​
化简 1−33​​:3​3​−1​
1−33​​
将项转换为分式: 1=31⋅3​=31⋅3​−33​​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=31⋅3−3​​
数字相乘:1⋅3=3=33−3​​
分解 3−3​:3​(3​−1)
3−3​
3=3​3​=3​3​−3​
因式分解出通项 3​=3​(3​−1)
=33​(3​−1)​
消掉 33​(3​−1)​:3​3​−1​
33​(3​−1)​
使用根式运算法则: na​=an1​3​=321​=3321​(3​−1)​
使用指数法则: xbxa​=xb−a1​31321​​=31−21​1​=31−21​3​−1​
数字相减:1−21​=21​=321​3​−1​
使用根式运算法则: an1​=na​321​=3​=3​3​−1​
=3​3​−1​
=3​3​−1​1+33​​​
化简 1+33​​:3​3​+1​
1+33​​
将项转换为分式: 1=31⋅3​=31⋅3​+33​​
因为分母相等,所以合并分式: ca​±cb​=ca±b​=31⋅3+3​​
数字相乘:1⋅3=3=33+3​​
分解 3+3​:3​(3​+1)
3+3​
3=3​3​=3​3​+3​
因式分解出通项 3​=3​(3​+1)
=33​(3​+1)​
消掉 33​(3​+1)​:3​3​+1​
33​(3​+1)​
使用根式运算法则: na​=an1​3​=321​=3321​(1+3​)​
使用指数法则: xbxa​=xb−a1​31321​​=31−21​1​=31−21​3​+1​
数字相减:1−21​=21​=321​3​+1​
使用根式运算法则: an1​=na​321​=3​=3​3​+1​
=3​3​+1​
=3​3​−1​3​3​+1​​
分式相除: dc​ba​​=b⋅ca⋅d​=3​(3​−1)(3​+1)3​​
约分:3​=3​−13​+1​
3​−13​+1​有理化:2+3​
3​−13​+1​
乘以共轭根式 3​+13​+1​=(3​−1)(3​+1)(3​+1)(3​+1)​
(3​+1)(3​+1)=4+23​
(3​+1)(3​+1)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c(3​+1)(3​+1)=(3​+1)1+1=(3​+1)1+1
数字相加:1+1=2=(3​+1)2
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=3​,b=1
=(3​)2+23​⋅1+12
化简 (3​)2+23​⋅1+12:4+23​
(3​)2+23​⋅1+12
使用法则 1a=112=1=(3​)2+2⋅1⋅3​+1
(3​)2=3
(3​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(321​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=321​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=3
23​⋅1=23​
23​⋅1
数字相乘:2⋅1=2=23​
=3+23​+1
数字相加:3+1=4=4+23​
=4+23​
(3​−1)(3​+1)=2
(3​−1)(3​+1)
使用平方差公式: (a−b)(a+b)=a2−b2a=3​,b=1=(3​)2−12
化简 (3​)2−12:2
(3​)2−12
使用法则 1a=112=1=(3​)2−1
(3​)2=3
(3​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(321​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=321​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=3
=3−1
数字相减:3−1=2=2
=2
=24+23​​
分解 4+23​:2(2+3​)
4+23​
改写为=2⋅2+23​
因式分解出通项 2=2(2+3​)
=22(2+3​)​
数字相除:22​=1=2+3​
=2+3​
=2+3​
=2+3​
调整右侧tan(4π​+6π​)
使用三角恒等式改写
tan(4π​+6π​)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)​=cos(4π​+6π​)sin(4π​+6π​)​
使用角和恒等式: sin(s+t)=sin(s)cos(t)+cos(s)sin(t)=cos(4π​+6π​)sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)​
使用角和恒等式: cos(s+t)=cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)​
cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)​=2+3​
cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)​
sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)=22​​⋅23​​+21​⋅22​​
sin(4π​)cos(6π​)+cos(4π​)sin(6π​)
sin(4π​)cos(6π​)=22​​⋅23​​
sin(4π​)cos(6π​)
化简 sin(4π​):22​​
sin(4π​)
使用以下普通恒等式:sin(4π​)=22​​
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=22​​
=22​​cos(6π​)
化简 cos(6π​):23​​
cos(6π​)
使用以下普通恒等式:cos(6π​)=23​​
cos(x) 周期表(周期为 2πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=23​​
=22​​⋅23​​
cos(4π​)sin(6π​)=21​⋅22​​
cos(4π​)sin(6π​)
化简 cos(4π​):22​​
cos(4π​)
使用以下普通恒等式:cos(4π​)=22​​
cos(x) 周期表(周期为 2πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=22​​
=22​​sin(6π​)
化简 sin(6π​):21​
sin(6π​)
使用以下普通恒等式:sin(6π​)=21​
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=21​
=21​⋅22​​
=22​​⋅23​​+21​⋅22​​
=cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)22​​⋅23​​+21​⋅22​​​
cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)=22​​⋅23​​−21​⋅22​​
cos(4π​)cos(6π​)−sin(4π​)sin(6π​)
cos(4π​)cos(6π​)=22​​⋅23​​
cos(4π​)cos(6π​)
化简 cos(4π​):22​​
cos(4π​)
使用以下普通恒等式:cos(4π​)=22​​
cos(x) 周期表(周期为 2πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=22​​
=22​​cos(6π​)
化简 cos(6π​):23​​
cos(6π​)
使用以下普通恒等式:cos(6π​)=23​​
cos(x) 周期表(周期为 2πn):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
=23​​
=22​​⋅23​​
sin(4π​)sin(6π​)=21​⋅22​​
sin(4π​)sin(6π​)
化简 sin(4π​):22​​
sin(4π​)
使用以下普通恒等式:sin(4π​)=22​​
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=22​​
=22​​sin(6π​)
化简 sin(6π​):21​
sin(6π​)
使用以下普通恒等式:sin(6π​)=21​
sin(x) 周期表(周期为 2πn"):
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​sin(x)021​22​​23​​123​​22​​21​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​sin(x)0−21​−22​​−23​​−1−23​​−22​​−21​​​
=21​
=21​⋅22​​
=22​​⋅23​​−21​⋅22​​
=22​​⋅23​​−21​⋅22​​22​​⋅23​​+21​⋅22​​​
化简
22​​⋅23​​−22​​⋅21​22​​⋅23​​+22​​⋅21​​
22​​⋅23​​=46​​
22​​⋅23​​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​3​​
数字相乘:2⋅2=4=42​3​​
化简 2​3​:6​
2​3​
使用根式运算法则: a​b​=a⋅b​2​3​=2⋅3​=2⋅3​
数字相乘:2⋅3=6=6​
=46​​
22​​⋅21​=42​​
22​​⋅21​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​⋅1​
乘以:2​⋅1=2​=2⋅22​​
数字相乘:2⋅2=4=42​​
=46​​−42​​22​​⋅23​​+21​⋅22​​​
22​​⋅23​​=46​​
22​​⋅23​​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​3​​
数字相乘:2⋅2=4=42​3​​
化简 2​3​:6​
2​3​
使用根式运算法则: a​b​=a⋅b​2​3​=2⋅3​=2⋅3​
数字相乘:2⋅3=6=6​
=46​​
22​​⋅21​=42​​
22​​⋅21​
分式相乘: ba​⋅dc​=b⋅da⋅c​=2⋅22​⋅1​
乘以:2​⋅1=2​=2⋅22​​
数字相乘:2⋅2=4=42​​
=46​​−42​​46​​+42​​​
合并分式 46​​−42​​:46​−2​​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=46​−2​​
=46​−2​​46​​+42​​​
合并分式 46​​+42​​:46​+2​​
使用法则 ca​±cb​=ca±b​=46​+2​​
=46​−2​​46​+2​​​
分式相除: dc​ba​​=b⋅ca⋅d​=4(6​−2​)(6​+2​)⋅4​
约分:4=6​−2​6​+2​​
6​−2​6​+2​​有理化:2+3​
6​−2​6​+2​​
乘以共轭根式 6​+2​6​+2​​=(6​−2​)(6​+2​)(6​+2​)(6​+2​)​
(6​+2​)(6​+2​)=8+43​
(6​+2​)(6​+2​)
使用指数法则: ab⋅ac=ab+c(6​+2​)(6​+2​)=(6​+2​)1+1=(6​+2​)1+1
数字相加:1+1=2=(6​+2​)2
使用完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2a=6​,b=2​
=(6​)2+26​2​+(2​)2
化简 (6​)2+26​2​+(2​)2:8+43​
(6​)2+26​2​+(2​)2
(6​)2=6
(6​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(621​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=621​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=6
26​2​=43​
26​2​
分解整数 6=2⋅3=22⋅3​2​
使用根式运算法则: nab​=na​nb​2⋅3​=2​3​=22​3​2​
使用根式运算法则: a​a​=a2​2​=2=2⋅23​
数字相乘:2⋅2=4=43​
(2​)2=2
(2​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(221​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=2
=6+43​+2
数字相加:6+2=8=8+43​
=8+43​
(6​−2​)(6​+2​)=4
(6​−2​)(6​+2​)
使用平方差公式: (a−b)(a+b)=a2−b2a=6​,b=2​=(6​)2−(2​)2
化简 (6​)2−(2​)2:4
(6​)2−(2​)2
(6​)2=6
(6​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(621​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=621​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=6
(2​)2=2
(2​)2
使用根式运算法则: a​=a21​=(221​)2
使用指数法则: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
分式相乘: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
约分:2=1
=2
=6−2
数字相减:6−2=4=4
=4
=48+43​​
分解 8+43​:4(2+3​)
8+43​
改写为=4⋅2+43​
因式分解出通项 4=4(2+3​)
=44(2+3​)​
数字相除:44​=1=2+3​
=2+3​
=2+3​
=2+3​
=2+3​
我们已展示,在两侧可以有相同的形式⇒真

流行的例子

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