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beweisen (sec(θ)csc(θ))/2 =csc(2θ)

Lösung

beweisen

\frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{2} = csc (2 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{2} = csc (2 θ)

Manipuliere die rechte Seite

csc (2 θ)

Drücke mit sin, cos aus

csc (2 θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( 2 θ )}

= \frac{1}{sin ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1}{sin ( 2 θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{1}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{c s c ( θ )} cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{c s c ( θ )} \cdot \frac{1}{s e c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{2 \cdot \frac{1}{c s c ( θ )} \cdot \frac{1}{s e c ( θ )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} \cdot \frac{1}{sec ( θ )} : \frac{2}{csc ( θ ) sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{1 \cdot 1 \cdot 2}{csc ( θ ) sec ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{csc ( θ ) sec ( θ )}

= \frac{1}{\frac{2}{c s c ( θ ) s e c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ ) sec ( θ )}{2}

\frac{csc ( θ ) sec ( θ )}{2}

\frac{csc ( θ ) sec ( θ )}{2}

= \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (\frac{π}{2} + x) = - cos (x)

p ro v e tan (\frac{5 π}{12}) = tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{6})

p ro v e sin^{2} (θ) = csc^{2} (θ)

p ro v e tan (x) (sec^{2} (x) - 1) = tan^{3} (x)

p ro v e 1 + cos (x) \cdot sin (x) = sin (x)