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beweisen cos^2(x)=(csc^2(x)-1)/(csc^2(x))

Lösung

beweisen

cos^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + csc ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : - sin^{2} (x) + 1

\frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{1}{s i n ^{2} ( x )} ) sin ^{2} ( x )}{1}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ^{2} ( x )} sin ^{2} ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )} sin^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + 1 ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= - - sin^{2} (x) + 1

= - sin^{2} (x) + 1

= 1 - sin^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{- sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} = - sin (x)

p ro v e cos (4 x) = 8 cos^{4} (x)

p ro v e ((1 + cot (a) - csc (a)) (1 + tan (a) + sec (a))) = 2

p ro v e cos (x) + 1 (cos (x) - 1) = cos^{2} (x) - 1

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin (3 x)