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beweisen sec^2(x)= 2/(1+cos(2x))

Lösung

beweisen

sec^{2} (x) = \frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) = \frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2}{1 + cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}

Vereinfache

\frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1} : \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{2}{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2}{2 cos ^{2} ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

sec^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec (x) - sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e \frac{csc ( A )}{csc ( A ) - sin ( A )} = sec^{2} (A)

p ro v e csc^{4} (x) (cot^{2} (x)) = csc^{4} (x)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1 = sec^{2} (x)

p ro v e cos^{2} (x) tan^{2} (2 x) = sin^{2} (x)