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beweisen (sec^2(x)-1)cot^2(x)=1

Lösung

beweisen

(sec^{2} (x) - 1) cot^{2} (x) = 1

Wahr

Schritte zur Lösung

(sec^{2} (x) - 1) cot^{2} (x) = 1

Manipuliere die linke Seite

(sec^{2} (x) - 1) cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (x)) cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( x )})^{2}) (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} (\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - 1)

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} (\frac{1}{cos ^{2} ( x )} - 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} )}{sin ^{2} ( x )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )} : - cos^{2} (x) + 1

cos^{2} (x) \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= - - cos^{2} (x) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (x) = - \frac{1}{2}

p ro v e \frac{1 + cos ( θ )}{tan ( θ ) + sin ( θ )} = cot (θ)

p ro v e csc^{2} (x) - 1 = \frac{cos ( x )}{tan ( x ) sin ( x )}

p ro v e (tan (x) sec (- x)) cos (x) = sin (x) - 1

p ro v e (1 - cos (x)) \cdot (1 - cos (x)) = (1 - cos (x))^{2}