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beweisen (1+cos(θ))/(tan(θ)+sin(θ))=cot(θ)

Lösung

beweisen

\frac{1 + cos ( θ )}{tan ( θ ) + sin ( θ )} = cot (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + cos ( θ )}{tan ( θ ) + sin ( θ )} = cot (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + cos ( θ )}{tan ( θ ) + sin ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + cos ( θ )}{sin ( θ ) + tan ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + cos ( θ )}{sin ( θ ) + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1 + cos ( θ )}{sin ( θ ) + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}} : \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{1 + cos ( θ )}{sin ( θ ) + \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Füge

sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 + cos ( θ )}{\frac{s i n ( θ ) c o s ( θ ) + s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ ) + sin ( θ )}

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= \frac{( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 + cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{2} (x) - 1 = \frac{cos ( x )}{tan ( x ) sin ( x )}

p ro v e (tan (x) sec (- x)) cos (x) = sin (x) - 1

p ro v e (1 - cos (x)) \cdot (1 - cos (x)) = (1 - cos (x))^{2}

p ro v e 2 cos^{2} (x) = 0

p ro v e \frac{csc ( - x )}{sec ( - x )} = - tan (\frac{π}{2} - x)