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dimostrare (sin(60))/(1-cos(60))=cot(30)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )} = cot (3 0^{\circ})

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )} = cot (3 0^{\circ})

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )}

Semplifica

\frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )} : 3

\frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )}

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{1 - cos ( 6 0 ^{\circ} )}

1 - cos (6 0^{\circ}) = 1 - \frac{1}{2}

1 - cos (6 0^{\circ})

Usare la seguente identità triviale:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

36 0^{\circ} n

cicli:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1 - \frac{1}{2}

= \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}}

Semplificare

\frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3}{2 ( 1 - \frac{1}{2} )}

Unisci

1 - \frac{1}{2} : \frac{1}{2}

1 - \frac{1}{2}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 1}{2}

1 \cdot 2 - 1 = 1

1 \cdot 2 - 1

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 1

Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= 1

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= \frac{3}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= 3

= 3

= 3

Manipolando il lato destro

cot (3 0^{\circ})

Semplificare

= 3

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (2 x) + sin (x) = 0

p ro v e \frac{cot ( θ )}{csc ( θ )} = cot (θ) csc (θ)

p ro v e 1 = cos (x) csc (x) tan (x)

p ro v e csc^{2} (x) + sec^{2} (x) = 1

p ro v e 3 - 3 cos^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) = 3 + cos^{2} (x)