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Popolare Trigonometria >

dimostrare cos^4(a)+1-sin^4(a)=2cos^2(a)

Soluzione

dimostrare

cos^{4} (a) + 1 - sin^{4} (a) = 2 cos^{2} (a)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

cos^{4} (a) + 1 - sin^{4} (a) = 2 cos^{2} (a)

Manipolando il lato sinistro

cos^{4} (a) + 1 - sin^{4} (a)

Fattorizza

1 - sin^{4} (a) : - (sin^{2} (a) + 1) (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

1 - sin^{4} (a)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (sin^{4} (a) - 1)

Fattorizza

sin^{4} (a) - 1 : (sin^{2} (a) + 1) (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

sin^{4} (a) - 1

Riscrivi

sin^{4} (a) - 1

come

(sin^{2} (a))^{2} - 1^{2}

sin^{4} (a) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= sin^{4} (a) - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (a) = (sin^{2} (a))^{2}

= (sin^{2} (a))^{2} - 1^{2}

= (sin^{2} (a))^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (a))^{2} - 1^{2} = (sin^{2} (a) + 1) (sin^{2} (a) - 1)

= (sin^{2} (a) + 1) (sin^{2} (a) - 1)

Fattorizza

sin^{2} (a) - 1 : (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

sin^{2} (a) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= sin^{2} (a) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (a) - 1^{2} = (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

= (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

= (sin^{2} (a) + 1) (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

= - (sin^{2} (a) + 1) (sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

= cos^{4} (a) - (- 1 + sin (a)) (1 + sin (a)) (1 + sin^{2} (a))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos^{4} (a) - (- 1 + sin (a)) (1 + sin (a)) (1 + sin^{2} (a))

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos^{4} (a) - (- 1 + sin (a)) (1 + sin (a)) (1 + 1 - cos^{2} (a))

Semplificare

= cos^{4} (a) - (- 1 + sin (a)) (1 + sin (a)) (- cos^{2} (a) + 2)

Espandi

(sin (a) + 1) (sin (a) - 1) : sin^{2} (a) - 1

(sin (a) + 1) (sin (a) - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = sin (a), b = 1

= sin^{2} (a) - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= sin^{2} (a) - 1

= cos^{4} (a) - (sin^{2} (a) - 1) (2 - cos^{2} (a))

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (a) + sin^{2} (a)

1 - sin^{2} (a) = cos^{2} (a)

= cos^{4} (a) - (- cos^{2} (a)) (2 - cos^{2} (a))

Semplifica

cos^{4} (a) - (- cos^{2} (a)) (2 - cos^{2} (a)) : 2 cos^{2} (a)

cos^{4} (a) - (- cos^{2} (a)) (2 - cos^{2} (a))

Applicare la regola

- (- a) = a

= cos^{4} (a) + cos^{2} (a) (2 - cos^{2} (a))

Espandi

cos^{2} (a) (2 - cos^{2} (a)) : 2 cos^{2} (a) - cos^{4} (a)

cos^{2} (a) (2 - cos^{2} (a))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = cos^{2} (a), b = 2, c = cos^{2} (a)

= cos^{2} (a) \cdot 2 - cos^{2} (a) cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a) - cos^{2} (a) cos^{2} (a)

cos^{2} (a) cos^{2} (a) = cos^{4} (a)

cos^{2} (a) cos^{2} (a)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (a) cos^{2} (a) = cos^{2 + 2} (a)

= cos^{2 + 2} (a)

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= cos^{4} (a)

= 2 cos^{2} (a) - cos^{4} (a)

= cos^{4} (a) + 2 cos^{2} (a) - cos^{4} (a)

Aggiungi elementi simili:

cos^{4} (a) - cos^{4} (a) = 0

= 2 cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a)

= 2 cos^{2} (a)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare 3-4cos^2(x)=(2sin(x)+1)(2sin(x)-1)

p ro v e 3 - 4 cos^{2} (x) = (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

dimostrare csc^2(θ)=(1/(sin(θ)))^2

p ro v e csc^{2} (θ) = (\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

dimostrare (1+tan(x))/(1+1/(tan(x)))=tan(x)

p ro v e \frac{1 + tan ( x )}{1 + \frac{1}{t a n ( x )}} = tan (x)

dimostrare cos(2θ)= 1/(sec(2θ))

p ro v e cos (2 θ) = \frac{1}{sec ( 2 θ )}

dimostrare (cos(3x)-cos(x))=-2sin(2x)sin(x)

p ro v e (cos (3 x) - cos (x)) = - 2 sin (2 x) sin (x)