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Populaire Trigonométrie >

1/(sin^2(x))>= 1

Solution

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Solution

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

La notation des intervalles

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- π + 2 πn, 2 πn)

Décimale

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

étapes des solutions

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Récrire sous la forme standard

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

Soustraire

1

des deux côtés

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 1 - 1

Simplifier

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 \geq 0

Simplifier

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1 : \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multiplier:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Factoriser

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Factoriser

- sin^{2} (x) + 1 : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

- sin^{2} (x) + 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Factoriser

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \geq 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

\frac{( - ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 ) ) ( - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0 \cdot (- 1)

Simplifier

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )} \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

\frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ^{2} ( x )}

Trouver les signes de

sin (x) + 1

sin (x) + 1 = 0 : sin (x) = - 1

sin (x) + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

sin (x) = - 1

sin (x) = - 1

sin (x) + 1 < 0 : sin (x) < - 1

sin (x) + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

sin (x) + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

sin (x) < - 1

sin (x) < - 1

sin (x) + 1 > 0 : sin (x) > - 1

sin (x) + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

sin (x) + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

sin (x) > - 1

sin (x) > - 1

Trouver les signes de

sin (x) - 1

sin (x) - 1 = 0 : sin (x) = 1

sin (x) - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

sin (x) = 1

sin (x) = 1

sin (x) - 1 < 0 : sin (x) < 1

sin (x) - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

sin (x) - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

sin (x) < 1

sin (x) < 1

sin (x) - 1 > 0 : sin (x) > 1

sin (x) - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

sin (x) - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

sin (x) - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

sin (x) > 1

sin (x) > 1

Trouver les signes de

sin^{2} (x)

sin^{2} (x) = 0 : sin (x) = 0

sin^{2} (x) = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sin (x) = 0

sin^{2} (x) > 0 : sin (x) < 0 or sin (x) > 0

sin^{2} (x) > 0

Pour

u^{n} > 0

, si

n

est pair alors

u < 0

u > 0

sin (x) < 0 or sin (x) > 0

Trouver les points de singularité

Trouver les zéros du dénominateur

sin^{2} (x) :

Aucune solution

sin^{2} (x) = 0

Les côtés ne sont pas égaux

Aucune solution

Récapituler dans un tableau:

sin (x) + 1 sin (x) - 1 sin^{2} (x) \frac{( s i n ( x ) + 1 ) ( s i n ( x ) - 1 )}{s i n ^{2} ( x )} sin (x) < - 1 - - + + sin (x) = - 1 0 - + 0 - 1 < sin (x) < 0 + - + - sin (x) = 0 + - 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini 0 < sin (x) < 1 + - + - sin (x) = 1 + 0 + 0 sin (x) > 1 + + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

sin (x) = - 1 or - 1 < sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1 or sin (x) = 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

sin (x) = - 1

- 1 < sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) < 0

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 1 \leq sin (x) < 0

0 < sin (x) < 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) < 1

sin (x) = 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

- 1 \leq sin (x) < 0

a \leq u < b

alors

a \leq u and u < b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) < 0

- 1 \leq sin (x) :

Vrai pour toute

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq - 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplifier

- π + 2 πn < x < 2 πn

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and - π + 2 πn < x < 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- π + 2 πn < x < 2 πn

0 < sin (x) \leq 1 : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq 1

a < u \leq b

alors

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq 1

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) > 0

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplifier

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplifier

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Vrai pour toute

x \in R

sin (x) \leq 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

2 πn < x < π + 2 πn and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x < π + 2 πn

Réunir les intervalles

- π + 2 πn < x < 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x < π + 2 πn or - π + 2 πn < x < 2 πn

Exemples populaires

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}

solvefor y,sin(x)xcos(y)<0

so l v e f or y, sin (x) x cos (y) < 0

cos(x/2)+1/2 <0

cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} < 0

sin((5x)/2)<= 0.6

sin (\frac{5 x}{2}) \leq 0.6

sqrt(3)-tan(x)<0

3 - tan (x) < 0