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Popolare Trigonometria >

2sin^4(x)-3sin^2(x)+1>0

Soluzione

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Soluzione

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{4} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimale

2 πn \leq x < 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn or 5.49778 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 sin^{4} (x) - 3 sin^{2} (x) + 1 > 0

Sia:

v = sin (x)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0 : v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 > 0

Fattorizza

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1 : (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

2 v^{4} - 3 v^{2} + 1

Lasciare

u = v^{2}

= 2 u^{2} - 3 u + 1

Fattorizza

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - 3 u + 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = 2,

controllare se

u + v = - 3

Verifica

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Vero

u = - 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

Fattorizza

- 1

- 2 u + 1 : - (2 u - 1)

- 2 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

= (2 u - 1) (u - 1)

Sostituire indietro

u = v^{2}

= (v^{2} - 1) (2 v^{2} - 1)

Fattorizza

2 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

2 v^{2} - 1

Riscrivi

2 v^{2} - 1

come

(2 v)^{2} - 1^{2}

2 v^{2} - 1

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v^{2} - 1)

Fattorizza

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1)

Trova i segni di

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 v = - 1

2 v = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

v = - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 v < - 1

2 v < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

v < - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{2}{2}

2 v + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 v > - 1

2 v > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

v > - \frac{2}{2}

Trova i segni di

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{2}{2}

2 v - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 v = 1

2 v = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

v = \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{2}{2}

2 v - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 v < 1

2 v < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

v < \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{2}{2}

2 v - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 v - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 v > 1

2 v > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 v > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= v

Semplificare

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

v > \frac{2}{2}

Trova i segni di

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

v + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

v + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

v + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

v > - 1

v > - 1

Trova i segni di

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

v - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

v - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

v > 1

v > 1

Riassumere in una tabella:

2 v + 1 2 v - 1 v + 1 v - 1 (2 v + 1) (2 v - 1) (v + 1) (v - 1) v < - 1 - - - - + v = - 1 - - 0 - 0 - 1 < v < - \frac{2}{2} - - + - - v = - \frac{2}{2} 0 - + - 0 - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} + - + - + v = \frac{2}{2} + 0 + - 0 \frac{2}{2} < v < 1 + + + - - v = 1 + + + 00 v > 1 + + + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

v < - 1 or - \frac{2}{2} < v < \frac{2}{2} or v > 1

Sostituire indietro

v = sin (x)

sin (x) < - 1 or - \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} or sin (x) > 1

sin (x) < - 1 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) < - 1

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < - 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2} : 2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x) < \frac{2}{2}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- \frac{2}{2} < sin (x) and sin (x) < \frac{2}{2}

- \frac{2}{2} < sin (x) : - \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

- \frac{2}{2} < sin (x)

Scambia i lati

sin (x) > - \frac{2}{2}

Per

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

Semplificare

π - arcsin (- \frac{2}{2}) : \frac{5 π}{4}

π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= π - (- \frac{π}{4})

Semplificare

π - (- \frac{π}{4})

Applicare la regola

- (- a) = a

= π + \frac{π}{4}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 4}{4}

= \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 4 + π}{4}

Aggiungi elementi simili:

4 π + π = 5 π

= \frac{5 π}{4}

= \frac{5 π}{4}

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2}

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (\frac{2}{2}) : - \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

Semplificare

- π - \frac{π}{4}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 - π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- 4 π - π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

Semplificare

arcsin (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) > 1

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

Combina gli intervalli

Falso per tutti x \in R or (2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn \leq x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn or \frac{7 π}{4} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Esempi popolari

cos(x)+(sqrt(3))/2 <= 0

cos (x) + \frac{3}{2} \leq 0

(sin(x)+cos(x))>= 1/2

(sin (x) + cos (x)) \geq \frac{1}{2}

tan(x)<= sqrt(3)

tan (x) \leq 3

50sin(-pi/2 x-pi/2)>= 15

50 sin (- \frac{π}{2} x - \frac{π}{2}) \geq 15

solvefor x,sin(x)cos(2x)>0

so l v e f or x, sin (x) cos (2 x) > 0