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Populaire Trigonométrie >

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Solution

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Solution

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

La notation des intervalles

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Décimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

étapes des solutions

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Soit :

u = sin (x)

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

Factoriser

4 u^{2} - 8 u + 3 : (2 u - 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 8 u + 3

Décomposer l'expression en groupes

4 u^{2} - 8 u + 3

Définition

Facteurs de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

12 : 2, 2, 3

12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplier les facteurs premiers de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3

Ajouter 1 et le nombre

12

lui-même

1, 12

Les facteurs de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Facteurs négatifs de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 12,

vérifier si

u + v = - 8

Vérifier

u = 1, v = 12 : u * v = 12, u + v = 13 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = 6 : u * v = 12, u + v = 8 \Rightarrow

Faux

u = - 2, v = - 6

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

Factoriser

2 u

depuis

4 u^{2} - 2 u : 2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Récrire

4

comme

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Factoriser le terme commun

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Factoriser

- 3

depuis

- 6 u + 3 : - 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Récrire

6

comme

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Factoriser le terme commun

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 3)

(2 u - 1) (2 u - 3) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u - 1) (2 u - 3)

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

2 u = 3

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplifier

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 < 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Simplifier

2 u < 3

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Simplifier

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Déplacer

3

vers la droite

2 u - 3 > 0

Ajouter

3

aux deux côtés

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Simplifier

2 u > 3

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 3

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Simplifier

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Récapituler dans un tableau:

2 u - 1 2 u - 3 (2 u - 1) (2 u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

Remplacer

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplifier

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplifier

π - \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Vrai pour toute

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemples populaires

sin^2(x)> 3/4

sin^{2} (x) > \frac{3}{4}

(1-2cos(x))<0

(1 - 2 cos (x)) < 0

(sin(x))^2<= 3/4

(sin (x))^{2} \leq \frac{3}{4}

13<2.5cos(((2pi)/(365))(x+9))+12

13 < 2.5 cos ((\frac{2 π}{365}) (x + 9)) + 12

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0