English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Решение

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Решение

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Обозначение интервала

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

десятичными цифрами

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Шаги решения

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Допустим:

u = sin (x)

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

коэффициент

4 u^{2} - 8 u + 3 : (2 u - 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 8 u + 3

Разбейте выражение на группы

4 u^{2} - 8 u + 3

Определение

Множители

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Делители (множители)

Найдите простые множители

12 : 2, 2, 3

12

12

делится на

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

делится на

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Умножьте простые множители

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Добавьте основные множители:

2, 3

Добавить 1 и само число

12

1, 12

Факторы

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Отрицательные коэффициенты

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = 12,

проверьте, если

u + v = - 8

Проверьте

u = 1, v = 12 : u * v = 12, u + v = 13 \Rightarrow

НеверноПроверьте

u = 2, v = 6 : u * v = 12, u + v = 8 \Rightarrow

Неверно

u = - 2, v = - 6

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

Вынести

2 u

из

4 u^{2} - 2 u : 2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Перепишите

4

как

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Убрать общее значение

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Вынести

- 3

из

- 6 u + 3 : - 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Перепишите

6

как

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Убрать общее значение

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Убрать общее значение

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 3)

(2 u - 1) (2 u - 3) \leq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 u - 1) (2 u - 3)

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Найдите признаки

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 = 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

После упрощения получаем

2 u = 3

2 u = 3

Разделите обе стороны на

2

2 u = 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 < 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

После упрощения получаем

2 u < 3

2 u < 3

Разделите обе стороны на

2

2 u < 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Переместите

3

вправо

2 u - 3 > 0

Добавьте

3

к обеим сторонам

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

После упрощения получаем

2 u > 3

2 u > 3

Разделите обе стороны на

2

2 u > 3

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Свести в таблицу:

2 u - 1 2 u - 3 (2 u - 1) (2 u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = \frac{1}{2}

либо

\frac{1}{2} < u < \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

либо

u = \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Поменяйте стороны

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Для

sin (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Упростите

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

После упрощения получаем

π - \frac{π}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Добавьте похожие элементы:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Верно для всех

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Диапазон

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

sin

равен

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Пусть

y = sin (x)

Объедините интервалы

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y \leq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Верно для всех x

Верно для всех x \in R

Объедините интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Верно для всех x \in R

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Решение

Решение

Популярные примеры