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Popolare Trigonometria >

4sin^2(x)-8sin(x)+3<= 0

Soluzione

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Decimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 \leq 0

Sia:

u = sin (x)

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

4 u^{2} - 8 u + 3 \leq 0

Fattorizza

4 u^{2} - 8 u + 3 : (2 u - 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 8 u + 3

Suddividere l'espressione in gruppi

4 u^{2} - 8 u + 3

Definizione

Fattori di

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

12 : 2, 2, 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i fattori primi di

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

12

stesso

1, 12

I fattori di

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Fattori negativi di

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Per ogni due fattori tali che

u * v = 12,

controllare se

u + v = - 8

Verifica

u = 1, v = 12 : u * v = 12, u + v = 13 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = 6 : u * v = 12, u + v = 8 \Rightarrow

Falso

u = - 2, v = - 6

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 6 u + 3)

Fattorizza

2 u

4 u^{2} - 2 u : 2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

Riscrivi

4

come

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

Fattorizzare dal termine comune

2 u

= 2 u (2 u - 1)

Fattorizza

- 3

- 6 u + 3 : - 3 (2 u - 1)

- 6 u + 3

Riscrivi

6

come

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u + 3

Fattorizzare dal termine comune

- 3

= - 3 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (2 u - 3)

(2 u - 1) (2 u - 3) \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (2 u - 3)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

2 u = 3

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Semplificare

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 < 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Semplificare

2 u < 3

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Semplificare

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

2 u - 3 > 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Semplificare

2 u > 3

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 3

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Semplificare

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 2 u - 3 (2 u - 1) (2 u - 3) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2} or u = \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < u < \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

\frac{1}{2} \leq u < \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{3}{2}

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Scambia i lati

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Semplificare

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Semplificare

π - \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Vero per tutti

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \leq \frac{3}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Esempi popolari

sin^2(x)> 3/4

sin^{2} (x) > \frac{3}{4}

(1-2cos(x))<0

(1 - 2 cos (x)) < 0

(sin(x))^2<= 3/4

(sin (x))^{2} \leq \frac{3}{4}

13<2.5cos(((2pi)/(365))(x+9))+12

13 < 2.5 cos ((\frac{2 π}{365}) (x + 9)) + 12

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0