English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Populaire Trigonométrie >

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

Solution

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Solution

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

La notation des intervalles

[πn, \frac{π}{4} + πn] \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

Décimale

πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

étapes des solutions

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Périodicité de

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

sin^{4} (x), cos^{4} (x)

Périodicité de

sin^{4} (x) : π

Périodicité de

sin^{n} (x) = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de sin ( x )}{2},

si n est pair

Périodicité de

sin (x) : 2 π

La périodicité de

sin (x)

est

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplifier

π

Périodicité de

cos^{4} (x) : π

Périodicité de

cos^{n} (x) = \frac{p e ˊ riodicit e ˊ de cos ( x )}{2},

si n est pair

Périodicité de

cos (x) : 2 π

La périodicité de

cos (x)

est

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Simplifier

π

Combiner des périodes :

π, π

= π

Factoriser

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Récrire

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

comme

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - cos^{4} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2} = (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

Factoriser

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) : (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) \leq 0

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

Résoudre

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

pour

0 \leq x < π

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4}

sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (x) + cos (x) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

tan (x) + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Solutions générales pour

tan (x) = - 1

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (x) - cos (x) = 0

Diviser les deux côtés par

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplifier

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

tan (x) - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Solutions générales pour

tan (x) = 1

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

Combiner toutes les solutions

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Les intervalles entre les points zéros

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Récapituler dans un tableau:

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + cos (x) sin (x) - cos (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) x = 0 + + - - 0 < x < \frac{π}{4} + + - - x = \frac{π}{4} + + 00 \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4} + + + + x = \frac{3 π}{4} + 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π + - + - x = π + - + -

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

0 \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π