English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

sin^4(x)-cos^4(x)<= 0

Решение

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Решение

πn \leq x \leq \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x \leq π + πn

Обозначение интервала

[πn, \frac{π}{4} + πn] \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn]

десятичными цифрами

πn \leq x \leq 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x \leq 3.14159 \dots + πn

Шаги решения

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) \leq 0

Периодичность

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : π

Составная периодичность суммы периодических функций есть наименьшее общее кратное периодов

sin^{4} (x), cos^{4} (x)

Периодичность

sin^{4} (x) : π

Периодичность

sin^{n} (x) = \frac{Периодичность sin ( x )}{2},

если n четно

Периодичность

sin (x) : 2 π

Периодичностью

sin (x)

является

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

После упрощения получаем

π

Периодичность

cos^{4} (x) : π

Периодичность

cos^{n} (x) = \frac{Периодичность cos ( x )}{2},

если n четно

Периодичность

cos (x) : 2 π

Периодичностью

cos (x)

является

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

После упрощения получаем

π

Объединить периоды:

π, π

= π

Найдите множитель

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) : (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Перепишите

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

как

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

sin^{4} (x) - cos^{4} (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - cos^{4} (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2}

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - (cos^{2} (x))^{2} = (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin^{2} (x) - cos^{2} (x))

коэффициент

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) : (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Примените формулу разности двух квадратов:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

= (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x))

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) \leq 0

Чтобы найти нули, приравняем неравенство к нулю

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

Решить

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

для

0 \leq x < π

(sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{3 π}{4}

sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Перепишите используя тригонометрические тождества

sin (x) + cos (x) = 0

Разделите обе части на

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

После упрощения получаем

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) + 1 = 0

tan (x) + 1 = 0

Переместите

1

вправо

tan (x) + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

tan (x) = - 1

tan (x) = - 1

Общие решения для

tan (x) = - 1

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

x = \frac{3 π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4}

sin (x) - cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Перепишите используя тригонометрические тождества

sin (x) - cos (x) = 0

Разделите обе части на

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

После упрощения получаем

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Переместите

1

вправо

tan (x) - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Общие решения для

tan (x) = 1

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Общие решения для диапазона

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}

Объедините все решения

\frac{π}{4} or \frac{3 π}{4}

Интервалы между нулями

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Свести в таблицу:

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) sin (x) + cos (x) sin (x) - cos (x) (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) (sin (x) + cos (x)) (sin (x) - cos (x)) x = 0 + + - - 0 < x < \frac{π}{4} + + - - x = \frac{π}{4} + + 00 \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4} + + + + x = \frac{3 π}{4} + 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π + - + - x = π + - + -

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

x = 0 or 0 < x < \frac{π}{4} or x = \frac{π}{4} or x = \frac{3 π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π or x = π

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

0 \leq x \leq \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} \leq x < π or x = π