English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(2x)<1+sin(x)

Решение

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Решение

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Обозначение интервала

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- \frac{5 π}{6} + 2 πn, - \frac{π}{6} + 2 πn)

десятичными цифрами

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 2.61799 \dots + 2 πn < x < - 0.52359 \dots + 2 πn

Шаги решения

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Переместите

sin (x)

влево

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Вычтите

sin (x)

с обеих сторон

cos (2 x) - sin (x) < 1 + sin (x) - sin (x)

cos (2 x) - sin (x) < 1

cos (2 x) - sin (x) < 1

Используйте следующую тождественность:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x) < 1

Допустим:

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} - u < 1

1 - 2 u^{2} - u < 1 : u < - \frac{1}{2} or u > 0

1 - 2 u^{2} - u < 1

Перепишите в стандартной форме

1 - 2 u^{2} - u < 1

Вычтите

1

с обеих сторон

1 - 2 u^{2} - u - 1 < 1 - 1

После упрощения получаем

- 2 u^{2} - u < 0

- 2 u^{2} - u < 0

коэффициент

- 2 u^{2} - u : - u (2 u + 1)

- 2 u^{2} - u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - 2 uu - u

Убрать общее значение

- u

= - u (2 u + 1)

- u (2 u + 1) < 0

Умножьте обе части на

- 1

(обратите неравенство)

(- u (2 u + 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

После упрощения получаем

u (2 u + 1) > 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

u (2 u + 1)

Найдите признаки

u

u = 0

u < 0

u > 0

Найдите признаки

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

2 u = - 1

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 < 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

После упрощения получаем

2 u < - 1

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u + 1 > 0

Вычтите

1

с обеих сторон

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

После упрощения получаем

2 u > - 1

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > - 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

После упрощения получаем

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Свести в таблицу:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} - 00 - \frac{1}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

> 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) < - \frac{1}{2} or sin (x) > 0

sin (x) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2}

Для

sin (x) < a

, если

- 1 < a \leq 1

, то

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

После упрощения получаем

- π - (- \frac{π}{6})

Примените правило

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Добавьте похожие элементы:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Упростите

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Используйте следующее свойство:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) > 0 : 2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) > 0

Для

sin (x) > a

, если

- 1 \leq a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Упростите

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Упростите

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

После упрощения получаем

2 πn < x < π + 2 πn

Объедините интервалы

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

cos(2x)<1+sin(x)

Решение

Решение

Популярные примеры