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Populaire Trigonométrie >

cos(2x)<1+sin(x)

Solution

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Solution

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

La notation des intervalles

(2 πn, π + 2 πn) \cup (- \frac{5 π}{6} + 2 πn, - \frac{π}{6} + 2 πn)

Décimale

2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 2.61799 \dots + 2 πn < x < - 0.52359 \dots + 2 πn

étapes des solutions

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Déplacer

sin (x)

vers la gauche

cos (2 x) < 1 + sin (x)

Soustraire

sin (x)

des deux côtés

cos (2 x) - sin (x) < 1 + sin (x) - sin (x)

cos (2 x) - sin (x) < 1

cos (2 x) - sin (x) < 1

Utiliser les identités suivantes:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x) < 1

Soit :

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} - u < 1

1 - 2 u^{2} - u < 1 : u < - \frac{1}{2} or u > 0

1 - 2 u^{2} - u < 1

Récrire sous la forme standard

1 - 2 u^{2} - u < 1

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 u^{2} - u - 1 < 1 - 1

Simplifier

- 2 u^{2} - u < 0

- 2 u^{2} - u < 0

Factoriser

- 2 u^{2} - u : - u (2 u + 1)

- 2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - 2 uu - u

Factoriser le terme commun

- u

= - u (2 u + 1)

- u (2 u + 1) < 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- u (2 u + 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Simplifier

u (2 u + 1) > 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

u (2 u + 1)

Trouver les signes de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trouver les signes de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

2 u < - 1

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplifier

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

2 u > - 1

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplifier

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Récapituler dans un tableau:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} - 00 - \frac{1}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

> 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) < - \frac{1}{2} or sin (x) > 0

sin (x) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) < - \frac{1}{2}

Pour

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

alors

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Simplifier

- π - (- \frac{π}{6})

Appliquer la règle

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Additionner les éléments similaires :

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Simplifier

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) > 0 : 2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) > 0

Pour

sin (x) > a

, si

- 1 \leq a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Simplifier

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Simplifier

2 πn < x < π + 2 πn

Réunir les intervalles

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn or 2 πn < x < π + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < - \frac{π}{6} + 2 πn

Exemples populaires

(1+sin(2x))>0

(1 + sin (2 x)) > 0

cos(x)<= (-1)/2

cos (x) \leq \frac{- 1}{2}

tan(2x)<1

tan (2 x) < 1

cos(x)<= 1/2 ,-pi<= x<= pi

cos (x) \leq \frac{1}{2}, - π \leq x \leq π

tan(2x)<3

tan (2 x) < 3