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受欢迎的三角函数 >

cos(2θ)-3sin(θ)-2>0

解答

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

解答

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

+2

间隔符号

(\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

十进制

3.66519 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < θ < 5.75958 \dots + 2 πn

求解步骤

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

利用以下特性:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 2 + 1 - 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) > 0

化简

- 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 1 > 0

令

: u = sin (θ)

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0 : - 1 < u < - \frac{1}{2}

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

分解

- 2 u^{2} - 3 u - 1 : - (2 u + 1) (u + 1)

- 2 u^{2} - 3 u - 1

因式分解出通项

- 1

= - (2 u^{2} + 3 u + 1)

分解

2 u^{2} + 3 u + 1 : (2 u + 1) (u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} + 3 u + 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

对于每两个因数

u * v = 2

，检验是否

u + v = 3

检验

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

真

u = 1, v = 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

= (2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

从

2 u^{2} + u

分解出因式

u

:

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

因式分解出通项

u

= u (2 u + 1)

= u (2 u + 1) + (2 u + 1)

因式分解出通项

2 u + 1

= (2 u + 1) (u + 1)

= - (2 u + 1) (u + 1)

- (2 u + 1) (u + 1) > 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- (2 u + 1) (u + 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

化简

(2 u + 1) (u + 1) < 0

确定区间

确定

(2 u + 1) (u + 1)

符号

确定

2 u + 1

符号

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

将

1

到右边

2 u + 1 = 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

2 u = - 1

2 u = - 1

两边除以

2

2 u = - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

将

1

到右边

2 u + 1 < 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

2 u < - 1

2 u < - 1

两边除以

2

2 u < - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

化简

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

将

1

到右边

2 u + 1 > 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

2 u > - 1

2 u > - 1

两边除以

2

2 u > - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

化简

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

总结如下表：

2 u + 1 u + 1 (2 u + 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < - \frac{1}{2} - + - u = - \frac{1}{2} 0 + 0 u > - \frac{1}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

u = sin (θ)

代回

- 1 < sin (θ) < - \frac{1}{2}

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

- 1 < sin (θ) and sin (θ) < - \frac{1}{2}

- 1 < sin (θ) : - \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (θ)

交换两边

sin (θ) > - 1

对于

sin (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < θ < π - arcsin (- 1) + 2 πn

化简

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

化简

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

化简

π - (- \frac{π}{2})

使用法则

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

将项转换为分式:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

同类项相加:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2}

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < θ < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

化简

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

化简

- π - (- \frac{π}{6})

使用法则

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

将项转换为分式:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

同类项相加:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

化简

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

合并区间

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

合并重叠的区间

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

流行的例子

(1-2sin(x))(2cos(x)+sqrt(3))<= 0

(1 - 2 sin (x)) (2 cos (x) + 3) \leq 0

sqrt(3)cos(x)-1<0

3 cos (x) - 1 < 0

tan(x)>-sqrt(3)

tan (x) > - 3

(9sin(t)+1)/8 <= 2pi

\frac{9 sin ( t ) + 1}{8} \leq 2 π

(2cos(θ)+1)/(2sin(θ)-sqrt(3))>0

\frac{2 cos ( θ ) + 1}{2 sin ( θ ) - 3} > 0