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Popular Trigonometría >

(1-2cos^2(x))/(tan(x))>0

Solución

\frac{1 - 2 cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} > 0

Solución

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Notación de intervalos

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimal

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Pasos de solución

\frac{1 - 2 cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} > 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )} > 0

Simplificar

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )} : \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{1 - 2 ( 1 - sin ^{2} ( x ) )}{tan ( x )}

Expandir

1 - 2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x) - 1

1 - 2 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 2 (1 - sin^{2} (x)) : - 2 + 2 sin^{2} (x)

- 2 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 2 \cdot 1 - (- 2) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 + 2 sin^{2} (x)

Restar:

1 - 2 = - 1

= 2 sin^{2} (x) - 1

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} > 0

Periodicidad de

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} : π

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

esta compuesta de las siguientes funciones y periodos:

sin (x)

con periodicidad de

2 π

La periodicidad compuesta es:

= π

Expresar con seno, coseno

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )} > 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} > 0

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{\frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}} > 0

Simplificar

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} > 0

Encontrar los ceros y puntos indefinidos de

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )}

para

0 \leq x < π

Para encontrar los ceros, transformar la desigualdad a 0

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

\frac{cos ( x ) ( 2 sin ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) (2 sin^{2} (x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) - 1 = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

2 sin^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

2 sin^{2} (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Usando el método de sustitución

2 sin^{2} (x) - 1 = 0

Sea:

sin (x) = u

2 u^{2} - 1 = 0

2 u^{2} - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

2 u^{2} - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u^{2} - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u^{2} = 1

2 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u^{2} = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u ^{2}}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π :

Sin solución

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < π

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Encontrar los puntos indefinidos:

x = 0

Encontrar los ceros del denominador

sin (x) = 0

Soluciones generales para

sin (x) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluciones para el rango

0 \leq x < π

x = 0

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identificar los intervalos

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Resumir en una tabla:

cos (x) 2 sin^{2} (x) - 1 sin (x) \frac{c o s ( x ) ( 2 s i n ^{2} ( x ) - 1 )}{s i n ( x )} x = 0 + - 0 Sin definir 0 < x < \frac{π}{4} + - + - x = \frac{π}{4} + 0 + 0 \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} 0 + + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} - + + - x = \frac{3 π}{4} - 0 + 0 \frac{3 π}{4} < x < π - - + + x = π - - 0 Sin definir

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{4} < x < π

Utilizar la periodicidad de

\frac{2 sin ^{2} ( x ) - 1}{tan ( x )}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Ejemplos populares

2cos^2(x)+cos(x)>0

2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

tan(2x)<= sqrt(3)

tan (2 x) \leq 3

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{( 3 cos ^{2} ( θ ) + 1 )} \geq \frac{16}{45}

cos(2t)>=-1/2

cos (2 t) \geq - \frac{1}{2}

-(-1-cos(t))>0

- (- 1 - cos (t)) > 0