English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

1-4(cos(x)sin(x/2))>= 0

الحلّ

1 - 4 (cos (x) sin (\frac{x}{2})) \geq 0

الحلّ

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn or \frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn or 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn or x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

تدوين الفاصل الزمني

(- \infty + 4 πn, 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn] \cup [\frac{π}{3} + 4 πn, \frac{5 π}{3} + 4 πn] \cup [2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn, 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn] \cup [- 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn, \infty + 4 πn)

عشري

x \leq 0.62831 \dots + 4 πn or 1.04719 \dots + 4 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 4 πn or 5.65486 \dots + 4 πn \leq x \leq 8.16814 \dots + 4 πn or x \geq 10.68141 \dots + 4 πn

خطوات الحلّ

1 - 4 cos (x) sin (\frac{x}{2}) \geq 0

u = \frac{x}{2} :

على افتراض أنّ

1 - 4 cos (2 u) sin (u) \geq 0

1 - 4 cos (2 u) sin (u) \geq 0 : 2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn

1 - 4 cos (2 u) sin (u) \geq 0

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:استخدم المتطابقة التالية

1 - 4 (1 - 2 sin^{2} (u)) sin (u) \geq 0

v = sin (u) :

على افتراض أنّ

1 - 4 (1 - 2 v^{2}) v \geq 0

1 - 4 (1 - 2 v^{2}) v \geq 0 : - \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v \geq \frac{1}{2}

1 - 4 (1 - 2 v^{2}) v \geq 0

Factor

1 - 4 (1 - 2 v^{2}) v : (2 v - 1) (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4})

1 - 4 (1 - 2 v^{2}) v

4 (1 - 2 v^{2}) v = - 4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

4 (1 - 2 v^{2}) v

- 2 v^{2} + 1

حلل إلى عوامل:

- (2 v + 1) (2 v - 1)

- 2 v^{2} + 1

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 v^{2} - 1)

2 v^{2} - 1

حلل إلى عوامل:

(2 v + 1) (2 v - 1)

2 v^{2} - 1

(2 v)^{2} - 1^{2}

كـ

2 v^{2} - 1

اكتب مجددًا

2 v^{2} - 1

a = (a)^{2}

:فعْل قانون الجذور

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 1

1^{2}

كـ

1

اكتب مجددًا

= (2)^{2} v^{2} - 1^{2}

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:فعّل قانون القوى

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

فعّل قانون فرق المربّعات

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= - (2 v + 1) (2 v - 1)

= - 4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

= 1 - (- 4 v (2 v + 1) (2 v - 1))

- (- a) = a

فعّل القانون

= 1 + 4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

1 + 4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

وسٌع:

1 + 8 v^{3} - 4 v

1 + 4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

4 v (2 v + 1) (2 v - 1)

وسٌع:

8 v^{3} - 4 v

(2 v + 1) (2 v - 1)

وسٌع:

2 v^{2} - 1

(2 v + 1) (2 v - 1)

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

فعّل قانون فرق المربّعات

a = 2 v, b = 1

= (2 v)^{2} - 1^{2}

(2 v)^{2} - 1^{2}

بسّط:

2 v^{2} - 1

(2 v)^{2} - 1^{2}

1^{a} = 1

فعّل القانون

1^{2} = 1

= (2 v)^{2} - 1

(2 v)^{2} = 2 v^{2}

(2 v)^{2}

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

:فعّل قانون القوى

= (2)^{2} v^{2}

(2)^{2} : 2

a = a^{\frac{1}{2}}

:فعْل قانون الجذور

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

(a^{b})^{c} = a^{b c}

:فعّل قانون القوى

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{1 \cdot 2}{2}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= 1

= 2

= 2 v^{2}

= 2 v^{2} - 1

= 2 v^{2} - 1

= 4 v (2 v^{2} - 1)

4 v (2 v^{2} - 1)

وسٌع:

8 v^{3} - 4 v

4 v (2 v^{2} - 1)

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 4 v, b = 2 v^{2}, c = 1

= 4 v \cdot 2 v^{2} - 4 v \cdot 1

= 4 \cdot 2 v^{2} v - 4 \cdot 1 \cdot v

4 \cdot 2 v^{2} v - 4 \cdot 1 \cdot v

بسّط:

8 v^{3} - 4 v

4 \cdot 2 v^{2} v - 4 \cdot 1 \cdot v

4 \cdot 2 v^{2} v = 8 v^{3}

4 \cdot 2 v^{2} v

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= 8 v^{2} v

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

v^{2} v = v^{2 + 1}

= 8 v^{2 + 1}

2 + 1 = 3 :

اجمع الأعداد

= 8 v^{3}

4 \cdot 1 \cdot v = 4 v

4 \cdot 1 \cdot v

4 \cdot 1 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 v

= 8 v^{3} - 4 v

= 8 v^{3} - 4 v

= 8 v^{3} - 4 v

= 1 + 8 v^{3} - 4 v

= 1 + 8 v^{3} - 4 v

8 v^{3} - 4 v + 1

حلل إلى عوامل:

(2 v - 1) (4 v^{2} + 2 v - 1)

8 v^{3} - 4 v + 1

استعمل نظريّة الجذر الكسريّ

2 v - 1

هو جذر للتعبير، إذًا فلتخرج

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

\frac{1}{2}

لذلك، افحص الأعداد الكسريّة التالية

a_{n} : 1, 2, 4, 8

القواسم لـ

a_{0} : 1,

القواسم لـ

a_{0} = 1, a_{n} = 8

= (2 v - 1) \frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1}

\frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1} = 4 v^{2} + 2 v - 1

\frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1}

\frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1}

اقسم:

\frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1} = 4 v^{2} + \frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1}

8 v^{3} - 4 v + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{8 v ^{3}}{2 v} = 4 v^{2} : 2 v - 1

والمقام

Quotient = 4 v^{2}

8 v^{3} - 4 v^{2} : 4 v^{2}

بـ

2 v - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

8 v^{3} - 4 v + 1

من

8 v^{3} - 4 v^{2}

اطرح

باقي = 4 v^{2} - 4 v + 1

لذلك

\frac{8 v ^{3} - 4 v + 1}{2 v - 1} = 4 v^{2} + \frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1}

= 4 v^{2} + \frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1}

\frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1}

اقسم:

\frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1} = 2 v + \frac{- 2 v + 1}{2 v - 1}

4 v^{2} - 4 v + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{4 v ^{2}}{2 v} = 2 v : 2 v - 1

والمقام

Quotient = 2 v

4 v^{2} - 2 v : 2 v

بـ

2 v - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

4 v^{2} - 4 v + 1

من

4 v^{2} - 2 v

اطرح

باقي = - 2 v + 1

لذلك

\frac{4 v ^{2} - 4 v + 1}{2 v - 1} = 2 v + \frac{- 2 v + 1}{2 v - 1}

= 4 v^{2} + 2 v + \frac{- 2 v + 1}{2 v - 1}

\frac{- 2 v + 1}{2 v - 1}

اقسم:

\frac{- 2 v + 1}{2 v - 1} = - 1

- 2 v + 1

اقسم المعامل الرئيس للبسط

\frac{- 2 v}{2 v} = - 1 : 2 v - 1

والمقام

Quotient = - 1

- 2 v + 1 : - 1

بـ

2 v - 1

اضرب للحصول على باقٍ جديد

- 2 v + 1

من

- 2 v + 1

اطرح

باقي = 0

لذلك

\frac{- 2 v + 1}{2 v - 1} = - 1

= 4 v^{2} + 2 v - 1

= 4 v^{2} + 2 v - 1

= (2 v - 1) (4 v^{2} + 2 v - 1)

= (2 v - 1) (4 v^{2} + 2 v - 1)

Factor

4 v^{2} + 2 v - 1 : (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4})

4 v^{2} + 2 v - 1

A quadratic of the form:

a x^{2} + b x + c

with roots

x_{1}, x_{2},

can be written as

(x - x_{1}) (x - x_{2})

4 v^{2} + 2 v - 1 = 0 : v = \frac{- 1 + 5}{4}, v = - \frac{1 + 5}{4}

4 v^{2} + 2 v - 1 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

4 v^{2} + 2 v - 1 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = 4, b = 2, c = - 1

لـ

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

- (- a) = a

فعّل القانون

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 :

اضرب الأعداد

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

4 + 16 = 20 :

اجمع الأعداد

= 20

20

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{2} \cdot 5

20

20 = 10 \cdot 2, 2

ينقسم على

20

= 2 \cdot 10

10 = 5 \cdot 2, 2

ينقسم على

10

= 2 \cdot 2 \cdot 5

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 5 2^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

2^{2} = 2

= 25

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Separate the solutions

v_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, v_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

v = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

- 2 + 25

حلل إلى عوامل:

2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 + 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 1 + 5}{4}

v = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

2 \cdot 4 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

- 2 - 25

حلل إلى عوامل:

- 2 (1 + 5)

- 2 - 25

أعد الكتابة كـ

= - 2 \cdot 1 - 25

2

قم باخراج العامل المشترك

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= - \frac{1 + 5}{4}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

v = \frac{- 1 + 5}{4}, v = - \frac{1 + 5}{4}

4 v^{2} + 2 v - 1 = (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4})

= (2 v - 1) (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4})

(2 v - 1) (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4}) \geq 0

ميّز المقاطع المختلفة

(2 v - 1) (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4})

:جد إشارة كل واحد من عوامل

2 v - 1

:جد إشارة

2 v - 1 = 0 : v = \frac{1}{2}

2 v - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 v - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 v = 1

2 v = 1

2

اقسم الطرفين على

2 v = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

v = \frac{1}{2}

v = \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 v - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

2 v < 1

2 v < 1

2

اقسم الطرفين على

2 v < 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

بسّط

v < \frac{1}{2}

v < \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 v - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

2 v > 1

2 v > 1

2

اقسم الطرفين على

2 v > 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

بسّط

v > \frac{1}{2}

v > \frac{1}{2}

v - \frac{- 1 + 5}{4}

:جد إشارة

v - \frac{- 1 + 5}{4} = 0 : v = \frac{5 - 1}{4}

v - \frac{- 1 + 5}{4} = 0

انقل

\frac{- 1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v - \frac{- 1 + 5}{4} = 0

للطرفين

\frac{- 1 + 5}{4}

أضف

v - \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1 + 5}{4} = 0 + \frac{- 1 + 5}{4}

بسّط

v = \frac{5 - 1}{4}

v = \frac{5 - 1}{4}

v - \frac{- 1 + 5}{4} < 0 : v < \frac{5 - 1}{4}

v - \frac{- 1 + 5}{4} < 0

انقل

\frac{- 1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v - \frac{- 1 + 5}{4} < 0

للطرفين

\frac{- 1 + 5}{4}

أضف

v - \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1 + 5}{4} < 0 + \frac{- 1 + 5}{4}

بسّط

v < \frac{5 - 1}{4}

v < \frac{5 - 1}{4}

v - \frac{- 1 + 5}{4} > 0 : v > \frac{5 - 1}{4}

v - \frac{- 1 + 5}{4} > 0

انقل

\frac{- 1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v - \frac{- 1 + 5}{4} > 0

للطرفين

\frac{- 1 + 5}{4}

أضف

v - \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1 + 5}{4} > 0 + \frac{- 1 + 5}{4}

بسّط

v > \frac{5 - 1}{4}

v > \frac{5 - 1}{4}

v + \frac{1 + 5}{4}

:جد إشارة

v + \frac{1 + 5}{4} = 0 : v = - \frac{1 + 5}{4}

v + \frac{1 + 5}{4} = 0

انقل

\frac{1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v + \frac{1 + 5}{4} = 0

من الطرفين

\frac{1 + 5}{4}

اطرح

v + \frac{1 + 5}{4} - \frac{1 + 5}{4} = 0 - \frac{1 + 5}{4}

بسّط

v = - \frac{1 + 5}{4}

v = - \frac{1 + 5}{4}

v + \frac{1 + 5}{4} < 0 : v < - \frac{1 + 5}{4}

v + \frac{1 + 5}{4} < 0

انقل

\frac{1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v + \frac{1 + 5}{4} < 0

من الطرفين

\frac{1 + 5}{4}

اطرح

v + \frac{1 + 5}{4} - \frac{1 + 5}{4} < 0 - \frac{1 + 5}{4}

بسّط

v < - \frac{1 + 5}{4}

v < - \frac{1 + 5}{4}

v + \frac{1 + 5}{4} > 0 : v > - \frac{1 + 5}{4}

v + \frac{1 + 5}{4} > 0

انقل

\frac{1 + 5}{4}

إلى الجانب الأيمن

v + \frac{1 + 5}{4} > 0

من الطرفين

\frac{1 + 5}{4}

اطرح

v + \frac{1 + 5}{4} - \frac{1 + 5}{4} > 0 - \frac{1 + 5}{4}

بسّط

v > - \frac{1 + 5}{4}

v > - \frac{1 + 5}{4}

لخّص في جدول

2 v - 1 v - \frac{- 1 + 5}{4} v + \frac{1 + 5}{4} (2 v - 1) (v - \frac{- 1 + 5}{4}) (v + \frac{1 + 5}{4}) v < - \frac{1 + 5}{4} - - - - v = - \frac{1 + 5}{4} - - 00 - \frac{1 + 5}{4} < v < \frac{5 - 1}{4} - - + + v = \frac{5 - 1}{4} - 0 + 0 \frac{5 - 1}{4} < v < \frac{1}{2} - + + - v = \frac{1}{2} 0 + + 0 v > \frac{1}{2} + + + +

\geq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

v = - \frac{1 + 5}{4} or - \frac{1 + 5}{4} < v < \frac{5 - 1}{4} or v = \frac{5 - 1}{4} or v = \frac{1}{2} or v > \frac{1}{2}

ادمج المجالات المتطابقة

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v = \frac{1}{2} or v > \frac{1}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

v = - \frac{1 + 5}{4}

או

- \frac{1 + 5}{4} < v < \frac{5 - 1}{4}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v < \frac{5 - 1}{4}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

- \frac{1 + 5}{4} \leq v < \frac{5 - 1}{4}

או

v = \frac{5 - 1}{4}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4}

או

v = \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v = \frac{1}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v = \frac{1}{2}

או

v > \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v \geq \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v \geq \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v \geq \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq v \leq \frac{5 - 1}{4} or v \geq \frac{1}{2}

v = sin (u)

استبدل مجددًا

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4} or sin (u) \geq \frac{1}{2}

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4} : 2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4}

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u) and sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4}

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u) : - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

- \frac{1 + 5}{4} \leq sin (u)

بدّل الأطراف

sin (u) \geq - \frac{1 + 5}{4}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn \leq u \leq π - arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1 + 5}{4})

بسّط:

- arcsin (\frac{1 + 5}{4})

arcsin (- \frac{1 + 5}{4})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) = - arcsin (\frac{1 + 5}{4})

= - arcsin (\frac{1 + 5}{4})

π - arcsin (- \frac{1 + 5}{4})

بسّط:

π + arcsin (\frac{1 + 5}{4})

π - arcsin (- \frac{1 + 5}{4})

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) = - arcsin (\frac{1 + 5}{4})

= π - (- arcsin (\frac{1 + 5}{4}))

- (- a) = a

فعّل القانون

= π + arcsin (\frac{1 + 5}{4})

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4} : - π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

sin (u) \leq \frac{5 - 1}{4}

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

وحّد المقاطع

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn and - π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn

sin (u) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (u) \geq \frac{1}{2}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq u \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

بسّط

π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 6 - π}{6}

6 π - π = 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

وحّد المقاطع

(2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn) or \frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn

2 πn \leq u \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq u \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq u \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq u < 2 π + 2 πn

\frac{x}{2} = u

استبدل مجددًا

2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) < 2 π + 2 πn

2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) < 2 π + 2 πn : x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn or \frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn or 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn or x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn or - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq (\frac{x}{2}) < 2 π + 2 πn

2 πn \leq \frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn : x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

2 πn \leq \frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

2 πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

2 πn \leq \frac{x}{2} : x \geq 4 πn

2 πn \leq \frac{x}{2}

بدّل الأطراف

\frac{x}{2} \geq 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \geq 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot 2 πn

بسّط

x \geq 4 πn

x \geq 4 πn

\frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn : x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \leq arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

وحّد المقاطع

x \geq 4 πn and x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

ادمج المجالات المتطابقة

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

\frac{π}{6} + 2 πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn : \frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

\frac{π}{6} + 2 πn \leq \frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

\frac{π}{6} + 2 πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{π}{6} + 2 πn \leq \frac{x}{2} : x \geq \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{π}{6} + 2 πn \leq \frac{x}{2}

بدّل الأطراف

\frac{x}{2} \geq \frac{π}{6} + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \geq \frac{π}{6} + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \geq 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

\frac{π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{π 2}{6}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 πn

= \frac{π}{3} + 4 πn

x \geq \frac{π}{3} + 4 πn

x \geq \frac{π}{3} + 4 πn

x \geq \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

\frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \leq 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

\frac{5 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{5 π 2}{6}

5 \cdot 2 = 10 :

اضرب الأعداد

= \frac{10 π}{6}

2 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{5 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 4 πn

= \frac{5 π}{3} + 4 πn

x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

وحّد المقاطع

x \geq \frac{π}{3} + 4 πn and x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn

π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq \frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn : 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq \frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

a \leq u and u \leq b

إذًا

a \leq u \leq b

إذا تحقّق أنّ

π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq \frac{x}{2} : x \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn \leq \frac{x}{2}

بدّل الأطراف

\frac{x}{2} \geq π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \geq π - arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

x \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn : x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

\frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \leq π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

وحّد المقاطع

x \geq 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn and x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

ادمج المجالات المتطابقة

2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq \frac{x}{2} < 2 π + 2 πn : x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq \frac{x}{2} < 2 π + 2 πn

a \leq u and u < b

إذًا

a \leq u < b

إذا تحقّق أنّ

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq \frac{x}{2} and \frac{x}{2} < 2 π + 2 πn

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq \frac{x}{2} : x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

- arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn \leq \frac{x}{2}

بدّل الأطراف

\frac{x}{2} \geq - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} \geq - arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 π + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 π + 2 \cdot 2 πn

بسّط

\frac{2 x}{2} \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 π + 2 \cdot 2 πn

\frac{2 x}{2}

بسّط:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= x

- 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 π + 2 \cdot 2 πn

بسّط:

- 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

- 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 \cdot 2 π + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot 2 = 4 :

اضرب الأعداد

= - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

\frac{x}{2} < 2 π + 2 πn : x < 4 π + 4 πn

\frac{x}{2} < 2 π + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{x}{2} < 2 π + 2 πn

2

اضرب الطرفين بـ

\frac{2 x}{2} < 2 \cdot 2 π + 2 \cdot 2 πn

بسّط

x < 4 π + 4 πn

x < 4 π + 4 πn

وحّد المقاطع

x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn and x < 4 π + 4 πn

ادمج المجالات المتطابقة

x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

وحّد المقاطع

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn or \frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn or 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn or x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

x \leq 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn or \frac{π}{3} + 4 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 4 πn or 2 π - 2 arcsin (\frac{5 - 1}{4}) + 4 πn \leq x \leq 2 π + 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 πn or x \geq - 2 arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 4 π + 4 πn

أمثلة شائعة

-1<= arccos(x^2)

- 1 \leq arccos (x^{2})

2sin(5x)<= sqrt(2)

2 sin (5 x) \leq 2

(2cos(x)-sqrt(3))>0

(2 cos (x) - 3) > 0

2sin^2(x/4)<1.5

2 sin^{2} (\frac{x}{4}) < 1.5

cos^2(x)< 3/4

cos^{2} (x) < \frac{3}{4}