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Popular Trigonometría >

cos^2(x)+sin(x)+1>= 0

Solución

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Solución

Verdadero para todo x \in R

Notación de intervalos

(- \infty, \infty)

Pasos de solución

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Simplificar

sin (x) - sin^{2} (x) + 2 \geq 0

Sea:

u = sin (x)

u - u^{2} + 2 \geq 0

u - u^{2} + 2 \geq 0 : - 1 \leq u \leq 2

u - u^{2} + 2 \geq 0

Factorizar

u - u^{2} + 2 : - (u + 1) (u - 2)

u - u^{2} + 2

Factorizar el termino común

- 1

= - (u^{2} - u - 2)

Factorizar

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c

= u^{2} - u - 2

Factorizar la expresión

u^{2} - u - 2

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = - 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

VerdaderoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 2

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Factorizar

u

u^{2} + u

u (u + 1)

u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factorizar el termino común

u

= u (u + 1)

Factorizar

- 2

- 2 u - 2

- 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Factorizar el termino común

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Factorizar el termino común

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

= - (u + 1) (u - 2)

- (u + 1) (u - 2) \geq 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- (u + 1) (u - 2)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Simplificar

(u + 1) (u - 2) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(u + 1) (u - 2)

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Encontrar los signos de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 < 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplificar

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Desplace

2

a la derecha

u - 2 > 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplificar

u > 2

u > 2

Resumir en una tabla:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 2 or u = 2

Mezclar intervalos sobrepuestos

- 1 \leq u < 2 or u = 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = - 1

- 1 < u < 2

- 1 \leq u < 2

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

- 1 \leq u < 2

u = 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

- 1 \leq sin (x) \leq 2

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) \leq 2

- 1 \leq sin (x) :

Verdadero para todo

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Intercambiar lados

sin (x) \geq - 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

sin (x) \leq 2 :

Verdadero para todo

x \in R

sin (x) \leq 2

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \leq 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and Verdadero para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

Verdadero para todo x \in R and Verdadero para todo x \in R

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

Verdadero para todo

x \in R

Verdadero para todo

x \in R

Verdadero para todo x \in R

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

Ejemplos populares

sin(3x)-(sqrt(2))/2 >= 0

cos(2x)<cos(4x)

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

(arctan(x))>0

tan(θ)<0,sin(θ)>0