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Popular Trigonometría >

sin(x)+cos^2(x)<1

Solución

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Solución

- π + 2 πn < x < 2 πn

Notación de intervalos

(- π + 2 πn, 2 πn)

Decimal

- 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Pasos de solución

sin (x) + cos^{2} (x) < 1

Usar la siguiente identidad:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Por lo tanto

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) + 1 - sin^{2} (x) < 1

Sea:

u = sin (x)

u + 1 - u^{2} < 1

u + 1 - u^{2} < 1 : u < 0 or u > 1

u + 1 - u^{2} < 1

Reescribir en la forma estándar

u + 1 - u^{2} < 1

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - u^{2} - 1 < 1 - 1

Simplificar

- u^{2} + u < 0

- u^{2} + u < 0

Factorizar

- u^{2} + u : - u (u - 1)

- u^{2} + u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Factorizar el termino común

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) < 0

Multiplicar ambos lados por

- 1

(invertir la desigualdad)

(- u (u - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Simplificar

u (u - 1) > 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

u (u - 1)

Encontrar los signos de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontrar los signos de

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

u > 1

u > 1

Resumir en una tabla:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

> 0

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) < 0 or sin (x) > 1

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Para

sin (x) < a

, si

- 1 < a \leq 1

entonces

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Simplificar

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Simplificar

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso para todo

x \in R

sin (x) > 1

Rango de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Sea

y

sin (x)

Combinar los rangos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso para todo y \in R

Falso para todo y \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Falso para todo x \in R

Combinar los rangos

- π + 2 πn < x < 2 πn or Falso para todo x \in R

Mezclar intervalos sobrepuestos

- π + 2 πn < x < 2 πn

Ejemplos populares

-2cos(x+pi/6)>1

tan(x)*sin(x)> 1/(2cos(x))

solvefor c,sin(xcos(2x))<= 1

cos(5x)cos(x/4)-sin(5x)sin(x/4)>=-(sqrt(2))/2

2sin(x/2)-1>= 0