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Popular Trigonometría >

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

Solución

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Solución

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Notación de intervalos

[\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

Decimal

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

Pasos de solución

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

Sea:

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

2 u^{2} + u - 1 \leq 0 : - 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

Factorizar

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Factorizar la expresión

2 u^{2} + u - 1

Definición

Factores de

2 : 1, 2

2

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Agregar 1

1

Divisores de

2

1, 2

Factores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2

Por cada dos factores tales que

u * v = - 2,

revisar si

u + v = 1

Revisar

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadero

u = 2, v = - 1

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Factorizar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factorizar el termino común

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Factorizar el termino común

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \leq 0

Identificar los intervalos

Encontrar los signos de los factores de

(2 u - 1) (u + 1)

Encontrar los signos de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 < 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplificar

2 u < 1

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u < 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplificar

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

2 u - 1 > 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplificar

2 u > 1

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u > 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplificar

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Encontrar los signos de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 < 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Desplace

1

a la derecha

u + 1 > 0

Restar

1

de ambos lados

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

u > - 1

u > - 1

Resumir en una tabla:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identificar los intervalos que cumplen la condición:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

Mezclar intervalos sobrepuestos

- 1 \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

u = - 1

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

La unión de dos intervalos comprende a los conjuntos numéricos que están en el primero y en el segundo

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

- 1 \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq cos (x) :

Verdadero para todo

x \in R

- 1 \leq cos (x)

Intercambiar lados

cos (x) \geq - 1

Rango de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definición de rango de función

El rango de la función basica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Sea

y

cos (x)

Combinar los rangos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Mezclar intervalos sobrepuestos

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadero para todo x

Verdadero para todo x \in R

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

Para

cos (x) \leq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{π}{3}

Convertir a fracción:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar los rangos

Verdadero para todo x \in R and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

((1-cos(x))(1+cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

(2sin(x)+1)(-2cos(x)+sqrt(3))>0