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人気のある三角関数 >

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

解

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

解

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

+2

区間表記

[\frac{π}{3} + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

十進法表記

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

解答ステップ

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

仮定:

u = cos (x)

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

2 u^{2} + u - 1 \leq 0 : - 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

2 u^{2} + u - 1 \leq 0

因数

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

式をグループに分ける

2 u^{2} + u - 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = - 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 1

以下をチェックする:

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u

を

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

からくくり出す

2 u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

共通項をくくり出す

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

(2 u - 1) (u + 1) \leq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(2 u - 1) (u + 1)

以下の符号を求める:

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 u < 1

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 u > 1

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

1

を右側に移動します

u + 1 < 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 < 0 - 1

簡素化

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

1

を右側に移動します

u + 1 > 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 > 0 - 1

簡素化

u > - 1

u > - 1

表で要約する:

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

重複している区間をマージする

- 1 \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

u = - 1

または

のいずれかの数の集合である

- 1 < u < \frac{1}{2}

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

- 1 \leq u < \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

u = \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq u \leq \frac{1}{2}

代用を戻す

u = cos (x)

- 1 \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

a \leq u \leq b

の場合は

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

- 1 \leq cos (x) :

すべて真

x \in R

- 1 \leq cos (x)

辺を交換する

cos (x) \geq - 1

以下の範囲:

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

cos

関数の範囲は

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq - 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

y =

にする

cos (x)

区間を組み合わせる

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y \geq - 1

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

すべての x で真

すべて真 x \in R

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

cos (x) \leq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

簡素化

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

簡素化

2 π - \frac{π}{3}

元を分数に変換する:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

数を乗じる:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

類似した元を足す:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

区間を組み合わせる

すべて真 x \in R and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

人気の例

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{3}) < \frac{3}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

(2 sin (2 x) + \frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}

((1-cos(x))(1+cos(x)))/(sin(x)+cos(x))>0

\frac{( 1 - cos ( x ) ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ( x ) + cos ( x )} > 0

(2sin(x)+1)(-2cos(x)+sqrt(3))>0

(2 sin (x) + 1) (- 2 cos (x) + 3) > 0