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Beliebt Trigonometrie >

(1-sin(x))(1+cos(x))=cos^2(x)

Lösung

(1 - sin (x)) (1 + cos (x)) = cos^{2} (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

(1 - sin (x)) (1 + cos (x)) = cos^{2} (x)

Subtrahiere

cos^{2} (x)

von beiden Seiten

(1 - sin (x)) (1 + cos (x)) - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos^{2} (x) + (1 + cos (x)) (1 - sin (x))

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - (1 - sin^{2} (x)) + (1 + cos (x)) (1 - sin (x))

Vereinfache

- (1 - sin^{2} (x)) + (1 + cos (x)) (1 - sin (x)) : sin^{2} (x) + cos (x) - sin (x) - cos (x) sin (x)

- (1 - sin^{2} (x)) + (1 + cos (x)) (1 - sin (x))

- (1 - sin^{2} (x)) : - 1 + sin^{2} (x)

- (1 - sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (x)

= - 1 + sin^{2} (x) + (1 + cos (x)) (1 - sin (x))

Multipliziere aus

(1 + cos (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

(1 + cos (x)) (1 - sin (x))

Wende Ausklammerungsregel an (VANI):

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 1, b = cos (x), c = 1, d = - sin (x)

= 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- sin (x)) + cos (x) \cdot 1 + cos (x) (- sin (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= 1 \cdot 1 - 1 \cdot sin (x) + 1 \cdot cos (x) - cos (x) sin (x)

Vereinfache

1 \cdot 1 - 1 \cdot sin (x) + 1 \cdot cos (x) - cos (x) sin (x) : 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

1 \cdot 1 - 1 \cdot sin (x) + 1 \cdot cos (x) - cos (x) sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= 1 - 1 \cdot sin (x) + 1 \cdot cos (x) - cos (x) sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= 1 - sin (x) + 1 \cdot cos (x) - cos (x) sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

= 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

= - 1 + sin^{2} (x) + 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

Vereinfache

- 1 + sin^{2} (x) + 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x) : sin^{2} (x) + cos (x) - sin (x) - cos (x) sin (x)

- 1 + sin^{2} (x) + 1 - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sin^{2} (x) - sin (x) + cos (x) - cos (x) sin (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= sin^{2} (x) + cos (x) - sin (x) - cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) + cos (x) - sin (x) - cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) + cos (x) - sin (x) - cos (x) sin (x)

cos (x) - sin (x) + sin^{2} (x) - cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

cos (x) - sin (x) + sin^{2} (x) - cos (x) sin (x) : (1 - sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos (x) - sin (x) + sin^{2} (x) - cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (1 - sin (x)) - sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= cos (x) (1 - sin (x)) - sin (x) + sin (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= cos (x) (1 - sin (x)) + sin (x) (- 1 + sin (x))

Schreibe um

= (1 - sin (x)) cos (x) - (1 - sin (x)) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

(1 - sin (x))

= (1 - sin (x)) (cos (x) - sin (x))

(1 - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 - sin (x) = 0 or cos (x) - sin (x) = 0

1 - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

1 - sin (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - sin (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - sin (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- sin (x) = - 1

- sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- sin (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- sin ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

sin (x) = 1

sin (x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)+15sin(x)-15=0

cos(2x)=sin(x),-2pi<= x<= 2pi

5sec^2(θ)sin(θ)-cos(θ)=0

cos(x)= 8/11

4sec(θ)-sqrt(3)=sqrt(3)+7sec(θ)