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인기 있는 삼각법 >

5sec^2(θ)sin(θ)-cos(θ)=0

해법

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

해법

θ = 0.19049 \dots + 2 πn, θ = - 2.95110 \dots + 2 πn

+1

도

θ = 10.91437 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 169.08562 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

솔루션 단계

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

죄로 표현하라, 왜냐하면

5 (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin (θ) - cos (θ) = 0

5 (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin (θ) - cos (θ)

단순화하세요:

\frac{5 sin ( θ ) - cos ^{3} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

5 (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin (θ) - cos (θ)

5 (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin (θ) = \frac{5 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

5 (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} sin (θ)

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

지수 규칙 적용:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

규칙 적용

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= 5 \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} sin (θ)

다중 분수:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

숫자를 곱하시오:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{5 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - cos (θ)

요소를 분수로 변환:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{5 sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{cos ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

분모가 같기 때문에, 분수를 합친다:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 sin ( θ ) - cos ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

5 sin (θ) - cos (θ) cos^{2} (θ) = 5 sin (θ) - cos^{3} (θ)

5 sin (θ) - cos (θ) cos^{2} (θ)

cos (θ) cos^{2} (θ) = cos^{3} (θ)

cos (θ) cos^{2} (θ)

지수 규칙 적용:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos^{2} (θ) = cos^{1 + 2} (θ)

= cos^{1 + 2} (θ)

숫자 추가:

1 + 2 = 3

= cos^{3} (θ)

= 5 sin (θ) - cos^{3} (θ)

= \frac{5 sin ( θ ) - cos ^{3} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{5 sin ( θ ) - cos ^{3} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 sin (θ) - cos^{3} (θ) = 0

더하다

cos^{3} (θ)

양쪽으로

5 sin (θ) = cos^{3} (θ)

양쪽을 제곱

(5 sin (θ))^{2} = (cos^{3} (θ))^{2}

빼다

(cos^{3} (θ))^{2}

양쪽에서

25 sin^{2} (θ) - cos^{6} (θ) = 0

삼각성을 사용하여 다시 쓰기

- cos^{6} (θ) + 25 sin^{2} (θ)

피타고라스 정체성 사용:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{6} (θ) + 25 (1 - cos^{2} (θ))

- cos^{6} (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) \cdot 25 = 0

대체로 해결

- cos^{6} (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) \cdot 25 = 0

하게:

cos (θ) = u

- u^{6} + (1 - u^{2}) \cdot 25 = 0

- u^{6} + (1 - u^{2}) \cdot 25 = 0 : u = 0.96414 \dots, u = - 0.96414 \dots

- u^{6} + (1 - u^{2}) \cdot 25 = 0

- u^{6} + (1 - u^{2}) \cdot 25

확장 :

- u^{6} + 25 - 25 u^{2}

- u^{6} + (1 - u^{2}) \cdot 25

= - u^{6} + 25 (1 - u^{2})

25 (1 - u^{2})

확대한다:

25 - 25 u^{2}

25 (1 - u^{2})

분배 법칙 적용:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = u^{2}

= 25 \cdot 1 - 25 u^{2}

숫자를 곱하시오:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 u^{2}

= - u^{6} + 25 - 25 u^{2}

- u^{6} + 25 - 25 u^{2} = 0

표준 양식으로 작성

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{6} - 25 u^{2} + 25 = 0

다음으로 방정식 다시 쓰기

v = u^{2}

그리고

v^{3} = u^{6}

- v^{3} - 25 v + 25 = 0

- v^{3} - 25 v + 25 = 0

해결 :

v \approx 0.96414 \dots

- v^{3} - 25 v + 25 = 0

다음을 위한 하나의 솔루션 찾기

- v^{3} - 25 v + 25 = 0

뉴턴-랩슨을 이용하여:

v \approx 0.96414 \dots

- v^{3} - 25 v + 25 = 0

뉴턴-랩슨 근사 정의

f (v) = - v^{3} - 25 v + 25

f^{^{'}} (v)

찾다 :

- 3 v^{2} - 25

\frac{d}{d v} (- v^{3} - 25 v + 25)

합계/차이 규칙 적용:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (v^{3}) - \frac{d}{d v} (25 v) + \frac{d}{d v} (25)

\frac{d}{d v} (v^{3}) = 3 v^{2}

\frac{d}{d v} (v^{3})

전원 규칙을 적용합니다:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 v^{3 - 1}

단순화

= 3 v^{2}

\frac{d}{d v} (25 v) = 25

\frac{d}{d v} (25 v)

정수를 빼라:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 25 \frac{d v}{d v}

공통 도함수 적용:

\frac{d v}{d v} = 1

= 25 \cdot 1

단순화

= 25

\frac{d}{d v} (25) = 0

\frac{d}{d v} (25)

상수의 도함수:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 3 v^{2} - 25 + 0

단순화

= - 3 v^{2} - 25

렛

v_{0} = 1

계산하다

v_{n + 1}

까지

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.96428 \dots : Δ v_{1} = 0.03571 \dots

f (v_{0}) = - 1^{3} - 25 \cdot 1 + 25 = - 1

f^{^{'}} (v_{0}) = - 3 \cdot 1^{2} - 25 = - 28

v_{1} = 0.96428 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.96428 \dots - 1 ∣ = 0.03571 \dots

Δ v_{1} = 0.03571 \dots

v_{2} = 0.96414 \dots : Δ v_{2} = 0.00013 \dots

f (v_{1}) = - 0.96428 \dots^{3} - 25 \cdot 0.96428 \dots + 25 = - 0.00378 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 3 \cdot 0.96428 \dots^{2} - 25 = - 27.78954 \dots

v_{2} = 0.96414 \dots

Δ v_{2} = ∣ 0.96414 \dots - 0.96428 \dots ∣ = 0.00013 \dots

Δ v_{2} = 0.00013 \dots

v_{3} = 0.96414 \dots : Δ v_{3} = 1.927 E - 9

f (v_{2}) = - 0.96414 \dots^{3} - 25 \cdot 0.96414 \dots + 25 = - 5.35491 E - 8

f^{^{'}} (v_{2}) = - 3 \cdot 0.96414 \dots^{2} - 25 = - 27.78875 \dots

v_{3} = 0.96414 \dots

Δ v_{3} = ∣ 0.96414 \dots - 0.96414 \dots ∣ = 1.927 E - 9

Δ v_{3} = 1.927 E - 9

v \approx 0.96414 \dots

긴 나눗셈 적용:

\frac{- v ^{3} - 25 v + 25}{v - 0.96414 \dots} = - v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots

- v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots \approx 0

다음을 위한 하나의 솔루션 찾기

- v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots = 0

뉴턴-랩슨을 이용하여:

솔루션 없음

v \in R

- v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots = 0

뉴턴-랩슨 근사 정의

f (v) = - v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots

f^{^{'}} (v)

찾다 :

- 2 v - 0.96414 \dots

\frac{d}{d v} (- v^{2} - 0.96414 \dots v - 25.92958 \dots)

합계/차이 규칙 적용:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d v} (v^{2}) - \frac{d}{d v} (0.96414 \dots v) - \frac{d}{d v} (25.92958 \dots)

\frac{d}{d v} (v^{2}) = 2 v

\frac{d}{d v} (v^{2})

전원 규칙을 적용합니다:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 v^{2 - 1}

단순화

= 2 v

\frac{d}{d v} (0.96414 \dots v) = 0.96414 \dots

\frac{d}{d v} (0.96414 \dots v)

정수를 빼라:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 0.96414 \dots \frac{d v}{d v}

공통 도함수 적용:

\frac{d v}{d v} = 1

= 0.96414 \dots \cdot 1

단순화

= 0.96414 \dots

\frac{d}{d v} (25.92958 \dots) = 0

\frac{d}{d v} (25.92958 \dots)

상수의 도함수:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 2 v - 0.96414 \dots - 0

단순화

= - 2 v - 0.96414 \dots

렛

v_{0} = - 5

계산하다

v_{n + 1}

까지

Δ v_{n + 1} < 0.000001

v_{1} = 0.10287 \dots : Δ v_{1} = 5.10287 \dots

f (v_{0}) = - (- 5)^{2} - 0.96414 \dots (- 5) - 25.92958 \dots = - 46.10883 \dots

f^{^{'}} (v_{0}) = - 2 (- 5) - 0.96414 \dots = 9.03585 \dots

v_{1} = 0.10287 \dots

Δ v_{1} = ∣ 0.10287 \dots - (- 5) ∣ = 5.10287 \dots

Δ v_{1} = 5.10287 \dots

v_{2} = - 22.15480 \dots : Δ v_{2} = 22.25767 \dots

f (v_{1}) = - 0.10287 \dots^{2} - 0.96414 \dots \cdot 0.10287 \dots - 25.92958 \dots = - 26.03935 \dots

f^{^{'}} (v_{1}) = - 2 \cdot 0.10287 \dots - 0.96414 \dots = - 1.16990 \dots

v_{2} = - 22.15480 \dots

Δ v_{2} = ∣ - 22.15480 \dots - 0.10287 \dots ∣ = 22.25767 \dots

Δ v_{2} = 22.25767 \dots

v_{3} = - 10.72559 \dots : Δ v_{3} = 11.42920 \dots

f (v_{2}) = - (- 22.15480 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 22.15480 \dots) - 25.92958 \dots = - 495.40430 \dots

f^{^{'}} (v_{2}) = - 2 (- 22.15480 \dots) - 0.96414 \dots = 43.34545 \dots

v_{3} = - 10.72559 \dots

Δ v_{3} = ∣ - 10.72559 \dots - (- 22.15480 \dots) ∣ = 11.42920 \dots

Δ v_{3} = 11.42920 \dots

v_{4} = - 4.34951 \dots : Δ v_{4} = 6.37607 \dots

f (v_{3}) = - (- 10.72559 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 10.72559 \dots) - 25.92958 \dots = - 130.62684 \dots

f^{^{'}} (v_{3}) = - 2 (- 10.72559 \dots) - 0.96414 \dots = 20.48703 \dots

v_{4} = - 4.34951 \dots

Δ v_{4} = ∣ - 4.34951 \dots - (- 10.72559 \dots) ∣ = 6.37607 \dots

Δ v_{4} = 6.37607 \dots

v_{5} = 0.90644 \dots : Δ v_{5} = 5.25596 \dots

f (v_{4}) = - (- 4.34951 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 4.34951 \dots) - 25.92958 \dots = - 40.65431 \dots

f^{^{'}} (v_{4}) = - 2 (- 4.34951 \dots) - 0.96414 \dots = 7.73488 \dots

v_{5} = 0.90644 \dots

Δ v_{5} = ∣ 0.90644 \dots - (- 4.34951 \dots) ∣ = 5.25596 \dots

Δ v_{5} = 5.25596 \dots

v_{6} = - 9.04124 \dots : Δ v_{6} = 9.94769 \dots

f (v_{5}) = - 0.90644 \dots^{2} - 0.96414 \dots \cdot 0.90644 \dots - 25.92958 \dots = - 27.62518 \dots

f^{^{'}} (v_{5}) = - 2 \cdot 0.90644 \dots - 0.96414 \dots = - 2.77704 \dots

v_{6} = - 9.04124 \dots

Δ v_{6} = ∣ - 9.04124 \dots - 0.90644 \dots ∣ = 9.94769 \dots

Δ v_{6} = 9.94769 \dots

v_{7} = - 3.26050 \dots : Δ v_{7} = 5.78073 \dots

f (v_{6}) = - (- 9.04124 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 9.04124 \dots) - 25.92958 \dots = - 98.95656 \dots

f^{^{'}} (v_{6}) = - 2 (- 9.04124 \dots) - 0.96414 \dots = 17.11833 \dots

v_{7} = - 3.26050 \dots

Δ v_{7} = ∣ - 3.26050 \dots - (- 9.04124 \dots) ∣ = 5.78073 \dots

Δ v_{7} = 5.78073 \dots

v_{8} = 2.75310 \dots : Δ v_{8} = 6.01361 \dots

f (v_{7}) = - (- 3.26050 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 3.26050 \dots) - 25.92958 \dots = - 33.41688 \dots

f^{^{'}} (v_{7}) = - 2 (- 3.26050 \dots) - 0.96414 \dots = 5.55687 \dots

v_{8} = 2.75310 \dots

Δ v_{8} = ∣ 2.75310 \dots - (- 3.26050 \dots) ∣ = 6.01361 \dots

Δ v_{8} = 6.01361 \dots

v_{9} = - 2.83600 \dots : Δ v_{9} = 5.58911 \dots

f (v_{8}) = - 2.75310 \dots^{2} - 0.96414 \dots \cdot 2.75310 \dots - 25.92958 \dots = - 36.16359 \dots

f^{^{'}} (v_{8}) = - 2 \cdot 2.75310 \dots - 0.96414 \dots = - 6.47036 \dots

v_{9} = - 2.83600 \dots

Δ v_{9} = ∣ - 2.83600 \dots - 2.75310 \dots ∣ = 5.58911 \dots

Δ v_{9} = 5.58911 \dots

v_{10} = 3.79931 \dots : Δ v_{10} = 6.63532 \dots

f (v_{9}) = - (- 2.83600 \dots)^{2} - 0.96414 \dots (- 2.83600 \dots) - 25.92958 \dots = - 31.23817 \dots

f^{^{'}} (v_{9}) = - 2 (- 2.83600 \dots) - 0.96414 \dots = 4.70786 \dots

v_{10} = 3.79931 \dots

Δ v_{10} = ∣ 3.79931 \dots - (- 2.83600 \dots) ∣ = 6.63532 \dots

Δ v_{10} = 6.63532 \dots

해결 방법을 찾을 수 없습니다

해결책은

v \approx 0.96414 \dots

v \approx 0.96414 \dots

다시 대체

v = u^{2},

을 해결하다

u

u^{2} = 0.96414 \dots

해결 :

u = 0.96414 \dots, u = - 0.96414 \dots

u^{2} = 0.96414 \dots

위해서

x^{2} = f (a)

해결책은

x = f (a), - f (a)

u = 0.96414 \dots, u = - 0.96414 \dots

해결책은

u = 0.96414 \dots, u = - 0.96414 \dots

뒤로 대체

u = cos (θ)

cos (θ) = 0.96414 \dots, cos (θ) = - 0.96414 \dots

cos (θ) = 0.96414 \dots, cos (θ) = - 0.96414 \dots

cos (θ) = 0.96414 \dots : θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn

cos (θ) = 0.96414 \dots

트리거 역속성 적용

cos (θ) = 0.96414 \dots

일반 솔루션

cos (θ) = 0.96414 \dots

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn

θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn

cos (θ) = - 0.96414 \dots : θ = arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn, θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

cos (θ) = - 0.96414 \dots

트리거 역속성 적용

cos (θ) = - 0.96414 \dots

일반 솔루션

cos (θ) = - 0.96414 \dots

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn, θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

θ = arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn, θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

모든 솔루션 결합

θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn, θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

해법을 원래 방정식에 연결하여 검증

솔루션을 에 연결하여 확인합니다

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

방정식에 맞지 않는 것은 제거하십시오.

솔루션 확인

arccos (0.96414 \dots) + 2 πn :

참

arccos (0.96414 \dots) + 2 πn

n = 1

끼우다

arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) sin (arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) - cos (arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) = 0

다듬다

0 = 0

\Rightarrow 참

솔루션 확인

2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn :

거짓

2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 πn

n = 1

끼우다

2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

θ = 2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) sin (2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) - cos (2 π - arccos (0.96414 \dots) + 2 π 1) = 0

다듬다

- 1.96382 \dots = 0

\Rightarrow 거짓

솔루션 확인

arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn :

거짓

arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

n = 1

끼우다

arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

θ = arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) sin (arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) - cos (arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) = 0

다듬다

1.96382 \dots = 0

\Rightarrow 거짓

솔루션 확인

- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn :

참

- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

n = 1

끼우다

- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (θ) sin (θ) - cos (θ) = 0

위한 {\ quad}끼우다{\ quad}

θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1

5 sec^{2} (- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) sin (- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) - cos (- arccos (- 0.96414 \dots) + 2 π 1) = 0

다듬다

0 = 0

\Rightarrow 참

θ = arccos (0.96414 \dots) + 2 πn, θ = - arccos (- 0.96414 \dots) + 2 πn

해를 10진수 형식으로 표시

θ = 0.19049 \dots + 2 πn, θ = - 2.95110 \dots + 2 πn

그래프

인기 있는 예

4sec(θ)-sqrt(3)=sqrt(3)+7sec(θ)

1/(sqrt(15))=cos(x)

cos^2(θ)=3sin^2(θ)