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Popular Trigonometria >

4sin^2(x)=(csc^2(x))/4

Solução

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Solução

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graus

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin^{2} (x) = \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Subtrair

\frac{csc ^{2} ( x )}{4}

de ambos os lados

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} = 0

Simplificar

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4} : \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

4 sin^{2} (x) - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Converter para fração:

4 sin^{2} (x) = \frac{4 sin ^{2} ( x ) 4}{4}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4}{4} - \frac{csc ^{2} ( x )}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 sin ^{2} ( x ) \cdot 4 - csc ^{2} ( x )}{4}

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 = 16

= \frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4}

\frac{16 sin ^{2} ( x ) - csc ^{2} ( x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = 0

Fatorar

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x) : (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Reescrever

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

como

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

16 sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Reescrever

16

como

4^{2}

= 4^{2} sin^{2} (x) - csc^{2} (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} sin^{2} (x) = (4 sin (x))^{2}

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

= (4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 sin (x))^{2} - csc^{2} (x) = (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

= (4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x))

(4 sin (x) + csc (x)) (4 sin (x) - csc (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

4 sin (x) + csc (x) = 0 or 4 sin (x) - csc (x) = 0

4 sin (x) + csc (x) = 0 :

Sem solução

4 sin (x) + csc (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Usando o método de substituição

csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Sea:

csc (x) = u

u + \frac{4}{u} = 0

u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

uu : u^{2}

uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 4

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

u^{2} + 4 = 0

Resolver

u^{2} + 4 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 4 = 0

Mova

4

para o lado direito

u^{2} + 4 = 0

Subtrair

4

de ambos os lados

u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

u^{2} = - 4

u^{2} = - 4

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = - 4, u = - - 4

Simplificar

- 4 : 2 i

- 4

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

Simplificar

- - 4 : - 2 i

- - 4

Simplificar

- 4 : 2 i

- 4

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 4 = - 1 4

= - 1 4

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 4 i

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Substituir na equação

u = csc (x)

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i, csc (x) = - 2 i

csc (x) = 2 i :

Sem solução

csc (x) = 2 i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

csc (x) = - 2 i :

Sem solução

csc (x) = - 2 i

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

4 sin (x) - csc (x) = 0 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

4 sin (x) - csc (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- csc (x) + 4 sin (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - csc (x) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{4}{csc ( x )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( x )}

= - csc (x) + \frac{4}{csc ( x )}

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Usando o método de substituição

- csc (x) + \frac{4}{csc ( x )} = 0

Sea:

csc (x) = u

- u + \frac{4}{u} = 0

- u + \frac{4}{u} = 0 : u = 2, u = - 2

- u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- u + \frac{4}{u} = 0

Multiplicar ambos os lados por

u

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- uu + \frac{4}{u} u = 0 \cdot u

Simplificar

- uu : - u^{2}

- uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 4

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

- u^{2} + 4 = 0

Resolver

- u^{2} + 4 = 0 : u = 2, u = - 2

- u^{2} + 4 = 0

Mova

4

para o lado direito

- u^{2} + 4 = 0

Subtrair

4

de ambos os lados

- u^{2} + 4 - 4 = 0 - 4

Simplificar

- u^{2} = - 4

- u^{2} = - 4

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 4

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 4

u^{2} = 4

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 4, u = - 4

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= - 2

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- u + \frac{4}{u}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 2, u = - 2

Substituir na equação

u = csc (x)

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2, csc (x) = - 2

csc (x) = 2 : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = 2

Soluções gerais para

csc (x) = 2

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2 : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (x) = - 2

Soluções gerais para

csc (x) = - 2

csc (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2sin(3x)=2

2 sin (3 x) = 2

sin(x)=(sqrt(2))/3

sin (x) = \frac{2}{3}

2(-cos^2(x)-sin(x)+sin^2(x))=0

2 (- cos^{2} (x) - sin (x) + sin^{2} (x)) = 0

cos(x)-sin(x)= 2/3

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{3}

tan(x)= 4/2

tan (x) = \frac{4}{2}