English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometría >

4sin(x)=cos(x)+2

Solución

4 sin (x) = cos (x) + 2

Solución

x = 2.88012 \dots + 2 πn, x = 0.75142 \dots + 2 πn

Grados

x = 165.01910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 43.05338 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (x) = cos (x) + 2

Elevar al cuadrado ambos lados

(4 sin (x))^{2} = (cos (x) + 2)^{2}

Restar

(cos (x) + 2)^{2}

de ambos lados

16 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 - cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x) - 4 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x)

Simplificar

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x) : - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 4 cos (x)

Expandir

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x)

Simplificar

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x) : - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

- 4 - cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 + 16

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 17 cos^{2} (x)

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 4 + 16

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 16 = 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

= - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 12

12 - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

12 - 17 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

12 - 17 u^{2} - 4 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 17 u^{2} - 4 u + 12 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 17 u^{2} - 4 u + 12 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 17, b = - 4, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 17 ) \cdot 12}{2 ( - 17 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 17) \cdot 12 = 813

(- 4)^{2} - 4 (- 17) \cdot 12

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Sumar:

16 + 816 = 832

= 832

Descomposición en factores primos de

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

divida por

2832 = 416 \cdot 2

= 2 \cdot 416

416

divida por

2416 = 208 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

divida por

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

divida por

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

divida por

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

divida por

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 13 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Simplificar

= 813

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 8 13}{2 ( - 17 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )} : - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- ( - 4 ) + 8 13}{2 ( - 17 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{4 + 8 13}{- 34}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 8 13}{34}

Cancelar

\frac{4 + 8 13}{34} : \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{4 + 8 13}{34}

Factorizar

4 + 813 : 4 (1 + 213)

4 + 813

Reescribir como

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 + 213)

= \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

= - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

u = \frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- ( - 4 ) - 8 13}{2 ( - 17 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 8 13}{- 2 \cdot 17}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{4 - 8 13}{- 34}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 813 = - (813 - 4)

= \frac{8 13 - 4}{34}

Factorizar

813 - 4 : 4 (213 - 1)

813 - 4

Reescribir como

= 4 \cdot 213 - 4 \cdot 1

Factorizar el termino común

4

= 4 (213 - 1)

= \frac{4 ( 2 13 - 1 )}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17} : x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17} : x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

4 sin (x) = cos (x) + 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) = cos (x) + 2

por

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Simplificar

1.03398 \dots = 1.03398 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) = cos (x) + 2

por

x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Simplificar

- 1.03398 \dots = 1.03398 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) = cos (x) + 2

por

x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Simplificar

2.73071 \dots = 2.73071 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

Multiplicar

4 sin (x) = cos (x) + 2

por

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 π 1) + 2

Simplificar

- 2.73071 \dots = 2.73071 \dots

\Rightarrow Falso

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.88012 \dots + 2 πn, x = 0.75142 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(β+10)=cot(2β-10)

1-2cos^2(8x)=sin(4x)

tan(x-10)=0

cos^2(x)=3sin(x)cos(x)

sin(y)=(50)/(65.3)