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Popular Trigonometría >

cos(x)+sqrt(3)sin(x)=2

Solución

cos (x) + 3 sin (x) = 2

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (x) + 3 sin (x) = 2

Restar

3 sin (x)

de ambos lados

cos (x) = 2 - 3 sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

cos^{2} (x) = (2 - 3 sin (x))^{2}

Restar

(2 - 3 sin (x))^{2}

de ambos lados

cos^{2} (x) - 4 + 43 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 4 + cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Simplificar

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 : 43 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3

Sumar elementos similares:

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - 4 sin^{2} (x) + 43 sin (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 1 = - 3

= 43 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 3

= 43 sin (x) - 4 sin^{2} (x) - 3

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 = 0

Usando el método de sustitución

- 3 - 4 sin^{2} (x) + 4 sin (x) 3 = 0

Sea:

sin (x) = u

- 3 - 4 u^{2} + 4 u 3 = 0

- 3 - 4 u^{2} + 4 u 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

- 3 - 4 u^{2} + 4 u 3 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 43 u - 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 43 u - 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 43, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm ( 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm ( 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

(43)^{2} - 4 (- 4) (- 3) = 0

(43)^{2} - 4 (- 4) (- 3)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (43)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

(43)^{2} = 4^{2} \cdot 3

(43)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

= 4^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 4^{2} \cdot 3 - 48

4^{2} \cdot 3 = 48

4^{2} \cdot 3

4^{2} = 16

= 16 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 3 = 48

= 48

= 48 - 48

Restar:

48 - 48 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- 4 3 \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 4 3}{2 ( - 4 )}

\frac{- 4 3}{2 ( - 4 )} = \frac{3}{2}

\frac{- 4 3}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 4 3}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 3}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4 3}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cos (x) + 3 sin (x) = 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{3} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 3 sin (x) = 2

por

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) + 3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

cos (x) + 3 sin (x) = 2

por

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + 3 sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 2

Simplificar

1 = 2

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(θ)=(sqrt(11))/5

4cos^2(x)tan(x)-tan(x)=0

2cos(pi/4-3x)=sqrt(2)

3sec^2(x)=sec(x)

tan^2(x)-1=sec^2(x)