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Populaire Trigonométrie >

9sin(x)+6cos(x)=10

Solution

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Solution

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Degrés

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Soustraire

6 cos (x)

des deux côtés

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

Mettre les deux côtés au carré

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

Soustraire

(10 - 6 cos (x))^{2}

des deux côtés

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Développer

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Simplifier

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

Additionner les éléments similaires :

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x)

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

Additionner/Soustraire les nombres :

- 100 + 81 = - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Résoudre par substitution

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 117, b = 120, c = - 19

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

Multiplier les nombres :

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

Soustraire les nombres :

14400 - 8892 = 5508

= 5508

Factorisation première de

5508 : 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

5508

divisée par

25508 = 2754 \cdot 2

= 2 \cdot 2754

2754

divisée par

22754 = 1377 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

1377

divisée par

31377 = 459 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

459

divisée par

3459 = 153 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

153

divisée par

3153 = 51 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51

divisée par

351 = 17 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

2, 3, 17

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 3^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

Redéfinir

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

Factoriser

120 - 1817 : 6 (20 - 317)

120 - 1817

Récrire comme

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

Factoriser le terme commun

6

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

Factoriser

120 + 1817 : 6 (20 + 317)

120 + 1817

Récrire comme

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

Factoriser le terme commun

6

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

Annuler le facteur commun :

6

= \frac{20 + 3 17}{39}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Pour

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

insérer

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Redéfinir

10 = 10

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Pour

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Redéfinir

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Pour

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

insérer

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Redéfinir

10 = 10

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Faux

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Pour

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Redéfinir

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow Faux

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos(x)= 4/21

cos (x) = \frac{4}{21}

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

- 4 csc (x) = - csc^{2} (x) - 4

csc(7x+3)=sqrt(2)

csc (7 x + 3) = 2

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

2 sin^{4} (x) - 2 cos^{4} (x) = 1

18sin(x)=18cos(x)

18 sin (x) = 18 cos (x)