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人気のある三角関数 >

9sin(x)+6cos(x)=10

解

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

解

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

+1

度

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

両辺から

6 cos (x)

を引く

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

両辺を2乗する

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

両辺から

(10 - 6 cos (x))^{2}

を引く

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

拡張

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

数を乗じる:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

簡素化

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

類似した元を足す:

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x)

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

数を足す/引く:

- 100 + 81 = - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

置換で解く

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

解くとthe二次式

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 117, b = 120, c = - 19

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

規則を適用

- (- a) = a

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

数を乗じる:

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

数を引く:

14400 - 8892 = 5508

= 5508

以下の素因数分解:

5508 : 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

550825508 = 2754 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2754

275422754 = 1377 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

137731377 = 459 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

4593459 = 153 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

1533153 = 51 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51351 = 17 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

2, 3, 17

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

改良

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

数を乗じる:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

因数

120 - 1817 : 6 (20 - 317)

120 - 1817

書き換え

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

共通項をくくり出す

6

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

共通因数を約分する:

6

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

数を乗じる:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

因数

120 + 1817 : 6 (20 + 317)

120 + 1817

書き換え

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

共通項をくくり出す

6

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

共通因数を約分する:

6

= \frac{20 + 3 17}{39}

二次equationの解:

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

以下の一般解

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

以下の一般解

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

の挿入向け

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

改良

10 = 10

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

改良

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

の挿入向け

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

改良

10 = 10

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

改良

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow 偽

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

cos (x) = \frac{4}{21}

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

- 4 csc (x) = - csc^{2} (x) - 4

csc(7x+3)=sqrt(2)

csc (7 x + 3) = 2

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

2 sin^{4} (x) - 2 cos^{4} (x) = 1

18sin(x)=18cos(x)

18 sin (x) = 18 cos (x)