English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometría >

9sin(x)+6cos(x)=10

Solución

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Solución

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Grados

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Restar

6 cos (x)

de ambos lados

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

Restar

(10 - 6 cos (x))^{2}

de ambos lados

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Simplificar

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

Sumar elementos similares:

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x)

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

Sumar/restar lo siguiente:

- 100 + 81 = - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 117, b = 120, c = - 19

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

Restar:

14400 - 8892 = 5508

= 5508

Descomposición en factores primos de

5508 : 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

5508

divida por

25508 = 2754 \cdot 2

= 2 \cdot 2754

2754

divida por

22754 = 1377 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

1377

divida por

31377 = 459 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

459

divida por

3459 = 153 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

153

divida por

3153 = 51 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51

divida por

351 = 17 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

2, 3, 17

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

Aplicar las leyes de los exponentes:

n ab = n a n b

= 17 2^{2} 3^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

Simplificar

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

Factorizar

120 - 1817 : 6 (20 - 317)

120 - 1817

Reescribir como

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

Factorizar el termino común

6

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

Factorizar

120 + 1817 : 6 (20 + 317)

120 + 1817

Reescribir como

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

Factorizar el termino común

6

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

Eliminar los terminos comunes:

6

= \frac{20 + 3 17}{39}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

por

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

10 = 10

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

por

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

por

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

10 = 10

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Multiplicar

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

por

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow Falso

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

cos(x)= 4/21

cos (x) = \frac{4}{21}

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

- 4 csc (x) = - csc^{2} (x) - 4

csc(7x+3)=sqrt(2)

csc (7 x + 3) = 2

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

2 sin^{4} (x) - 2 cos^{4} (x) = 1

18sin(x)=18cos(x)

18 sin (x) = 18 cos (x)