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Popular Trigonometria >

9sin(x)+6cos(x)=10

Solução

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Solução

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Graus

x = 78.71680 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33.90306 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Subtrair

6 cos (x)

de ambos os lados

9 sin (x) = 10 - 6 cos (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(9 sin (x))^{2} = (10 - 6 cos (x))^{2}

Subtrair

(10 - 6 cos (x))^{2}

de ambos os lados

81 sin^{2} (x) - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x)) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

81 (1 - cos^{2} (x)) : 81 - 81 cos^{2} (x)

81 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 81, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 81 \cdot 1 - 81 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

81 \cdot 1 = 81

= 81 - 81 cos^{2} (x)

= - 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Simplificar

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x) : 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 100 + 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) + 81 - 81 cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 120 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) - 100 + 81

Somar elementos similares:

- 36 cos^{2} (x) - 81 cos^{2} (x) = - 117 cos^{2} (x)

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 100 + 81

Somar/subtrair:

- 100 + 81 = - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

= 120 cos (x) - 117 cos^{2} (x) - 19

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

- 19 - 117 cos^{2} (x) + 120 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0 : u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

- 19 - 117 u^{2} + 120 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 117 u^{2} + 120 u - 19 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 117, b = 120, c = - 19

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 12 0 ^{2} - 4 ( - 117 ) ( - 19 )}{2 ( - 117 )}

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19) = 1817

12 0^{2} - 4 (- 117) (- 19)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 12 0^{2} - 4 \cdot 117 \cdot 19

Multiplicar os números:

4 \cdot 117 \cdot 19 = 8892

= 12 0^{2} - 8892

12 0^{2} = 14400

= 14400 - 8892

Subtrair:

14400 - 8892 = 5508

= 5508

Decomposição em fatores primos de

5508 : 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

5508

5508

dividida por

25508 = 2754 \cdot 2

= 2 \cdot 2754

2754

dividida por

22754 = 1377 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 1377

1377

dividida por

31377 = 459 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 459

459

dividida por

3459 = 153 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 153

153

dividida por

3153 = 51 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 51

51

dividida por

351 = 17 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

2, 3, 17

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17

= 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 17

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 17

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 17 2^{2} 3^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{2} = 2

= 217 3^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 217

Simplificar

= 1817

u_{1, 2} = \frac{- 120 \pm 18 17}{2 ( - 117 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}, u_{2} = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

u = \frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 - 3 17}{39}

\frac{- 120 + 18 17}{2 ( - 117 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 120 + 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplicar os números:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 + 18 17}{- 234}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 + 1817 = - (120 - 1817)

= \frac{120 - 18 17}{234}

Fatorar

120 - 1817 : 6 (20 - 317)

120 - 1817

Reescrever como

= 6 \cdot 20 - 6 \cdot 317

Fatorar o termo comum

6

= 6 (20 - 317)

= \frac{6 ( 20 - 3 17 )}{234}

Eliminar o fator comum:

6

= \frac{20 - 3 17}{39}

u = \frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )} : \frac{20 + 3 17}{39}

\frac{- 120 - 18 17}{2 ( - 117 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 120 - 18 17}{- 2 \cdot 117}

Multiplicar os números:

2 \cdot 117 = 234

= \frac{- 120 - 18 17}{- 234}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 120 - 1817 = - (120 + 1817)

= \frac{120 + 18 17}{234}

Fatorar

120 + 1817 : 6 (20 + 317)

120 + 1817

Reescrever como

= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 317

Fatorar o termo comum

6

= 6 (20 + 317)

= \frac{6 ( 20 + 3 17 )}{234}

Eliminar o fator comum:

6

= \frac{20 + 3 17}{39}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{20 - 3 17}{39}, u = \frac{20 + 3 17}{39}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}, cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{20 - 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39} : x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{20 + 3 17}{39}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Para

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

inserir

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

10 = 10

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

Para

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

- 7.65209 \dots = 10

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Verdadeiro

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Para

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

inserir

x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

10 = 10

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Inserir

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

Para

9 sin (x) + 6 cos (x) = 10

inserir

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1

9 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) + 6 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 π 1) = 10

Simplificar

- 0.04021 \dots = 10

\Rightarrow Falso

x = arccos (\frac{20 - 3 17}{39}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 3 17}{39}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 1.37386 \dots + 2 πn, x = 0.59172 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(x)= 4/21

-4csc(x)=-csc^2(x)-4

csc(7x+3)=sqrt(2)

2sin^4(x)-2cos^4(x)=1

18sin(x)=18cos(x)