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Popular Trigonometria >

tan(x)-csc(2x)=0

Solução

tan (x) - csc (2 x) = 0

Solução

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graus

x = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (x) - csc (2 x) = 0

Expresar com seno, cosseno

- csc (2 x) + tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( 2 x )} + tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( 2 x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

- \frac{1}{sin ( 2 x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) + sin ( x ) sin ( 2 x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

- \frac{1}{sin ( 2 x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (2 x), cos (x) : sin (2 x) cos (x)

sin (2 x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (2 x)

quanto em

cos (x)

= sin (2 x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ( 2 x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{1}{sin ( 2 x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (2 x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )} + \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x ) sin ( 2 x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + sin ( x ) sin ( 2 x )}{sin ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{- cos ( x ) + sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (x) + sin (2 x) sin (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (x) + sin (2 x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= - cos (x) + 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= - cos (x) + 2 sin^{2} (x) cos (x)

- cos (x) + 2 cos (x) sin^{2} (x) = 0

Fatorar

- cos (x) + 2 cos (x) sin^{2} (x) : cos (x) (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

- cos (x) + 2 cos (x) sin^{2} (x)

Fatorar o termo comum

cos (x)

= cos (x) (- 1 + 2 sin^{2} (x))

Fatorar

2 sin^{2} (x) - 1 : (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

2 sin^{2} (x) - 1

Reescrever

2 sin^{2} (x) - 1

como

(2 sin (x))^{2} - 1^{2}

2 sin^{2} (x) - 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= (2)^{2} sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} sin^{2} (x) = (2 sin (x))^{2}

= (2 sin (x))^{2} - 1^{2}

= (2 sin (x))^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin (x))^{2} - 1^{2} = (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

= (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

= cos (x) (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1)

cos (x) (2 sin (x) + 1) (2 sin (x) - 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) = 0 or 2 sin (x) + 1 = 0 or 2 sin (x) - 1 = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 sin (x) + 1 = 0 : x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin (x) + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 sin (x) + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 sin (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 sin (x) = - 1

2 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x )}{2} : sin (x)

\frac{2 sin ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= sin (x)

Simplificar

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x) = - \frac{2}{2}

sin (x) = - \frac{2}{2}

sin (x) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 sin (x) - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 sin (x) - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (x) = 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( x )}{2} : sin (x)

\frac{2 sin ( x )}{2}

Eliminar o fator comum:

2

= sin (x)

Simplificar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x) = \frac{2}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{2}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Dado que a equação é indefinida para:

\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x = \frac{7 π}{4} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

solvefor x,z=sin(x^2+y^2)

tan(θ)=(78.48)/(196.2)

sec^2(x)-tan(x)=1,0<= x<2pi

cot(θ)+1=0,(0,2pi)

tan(x-10)=-0.1