English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometría >

cot(θ)+2csc(θ)=4,0<= θ<= 360

Solución

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Solución

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Pasos de solución

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4, 0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Restar

4

de ambos lados

cot (θ) + 2 csc (θ) - 4 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 = 0

Simplificar

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4 : \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 4

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{2}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( θ )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{2}{sin ( θ )} - 4

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

Aplicar la regla

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - 4

Convertir a fracción:

4 = \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 2}{sin ( θ )} - \frac{4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 2 - 4 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 2 - 4 sin (θ) = 0

Sumar

4 sin (θ)

a ambos lados

cos (θ) + 2 = 4 sin (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos (θ) + 2)^{2} = (4 sin (θ))^{2}

Restar

(4 sin (θ))^{2}

de ambos lados

(cos (θ) + 2)^{2} - 16 sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(2 + cos (θ))^{2} - 16 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Simplificar

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ)) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

(2 + cos (θ))^{2} - 16 (1 - cos^{2} (θ))

(2 + cos (θ))^{2} : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = cos (θ)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Simplificar

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 (1 - cos^{2} (θ))

Expandir

- 16 (1 - cos^{2} (θ)) : - 16 + 16 cos^{2} (θ)

- 16 (1 - cos^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 16 \cdot 1 - (- 16) cos^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 16 \cdot 1 + 16 cos^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

16 \cdot 1 = 16

= - 16 + 16 cos^{2} (θ)

= 4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Simplificar

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ) : 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

4 + 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 16 + 16 cos^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Sumar elementos similares:

cos^{2} (θ) + 16 cos^{2} (θ) = 17 cos^{2} (θ)

= 4 cos (θ) + 17 cos^{2} (θ) + 4 - 16

Sumar/restar lo siguiente:

4 - 16 = - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

= 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) - 12

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 12 + 17 cos^{2} (θ) + 4 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

- 12 + 17 u^{2} + 4 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

17 u^{2} + 4 u - 12 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 17, b = 4, c = - 12

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 17 ( - 12 )}{2 \cdot 17}

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12) = 813

4^{2} - 4 \cdot 17 (- 12)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 17 \cdot 12

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 17 \cdot 12 = 816

= 4^{2} + 816

4^{2} = 16

= 16 + 816

Sumar:

16 + 816 = 832

= 832

Descomposición en factores primos de

832 : 2^{6} \cdot 13

832

832

divida por

2832 = 416 \cdot 2

= 2 \cdot 416

416

divida por

2416 = 208 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 208

208

divida por

2208 = 104 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 104

104

divida por

2104 = 52 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 52

52

divida por

252 = 26 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 26

26

divida por

226 = 13 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

2, 13

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 13

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 13 2^{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13

Simplificar

= 813

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 8 13}{2 \cdot 17}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}, u_{2} = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

u = \frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17} : \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

\frac{- 4 + 8 13}{2 \cdot 17}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 + 8 13}{34}

Factorizar

- 4 + 813 : 4 (- 1 + 213)

- 4 + 813

Reescribir como

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 213

Factorizar el termino común

4

= 4 (- 1 + 213)

= \frac{4 ( - 1 + 2 13 )}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

u = \frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17} : - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

\frac{- 4 - 8 13}{2 \cdot 17}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 17 = 34

= \frac{- 4 - 8 13}{34}

Factorizar

- 4 - 813 : - 4 (1 + 213)

- 4 - 813

Reescribir como

= - 4 \cdot 1 - 4 \cdot 213

Factorizar el termino común

4

= - 4 (1 + 213)

= - \frac{4 ( 1 + 2 13 )}{34}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, u = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Sustituir en la ecuación

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

Soluciones generales para

cos (θ) = \frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} - arccos (a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Soluciones para el rango

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ} : θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}, 0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

Soluciones generales para

cos (θ) = - \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 36 0^{\circ} n, x = - arccos (- a) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n, θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} n

Soluciones para el rango

0 \leq θ \leq 36 0^{\circ}

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Combinar toda las soluciones

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}), θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Verdadero

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Sustituir

n = 1

arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Multiplicar

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

por

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Simplificar

4 = 4

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}) :

Falso

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Sustituir

n = 1

36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

Multiplicar

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

por

θ = 36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})

cot (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) + 2 csc (36 0^{\circ} - arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17})) = 4

Simplificar

- 4 = 4

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) :

Verdadero

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Multiplicar

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

por

θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

cot (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) + 2 csc (arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})) = 4

Simplificar

4 = 4

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ} :

Falso

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

Multiplicar

cot (θ) + 2 csc (θ) = 4

por

θ = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}

cot (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) + 2 csc (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17}) + 36 0^{\circ}) = 4

Simplificar

- 4 = 4

\Rightarrow Falso

θ = arccos (\frac{2 ( 2 13 - 1 )}{17}), θ = arccos (- \frac{2 ( 1 + 2 13 )}{17})

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.75142 \dots, θ = 2.88012 \dots

Gráfica

Ejemplos populares

4sin(x)=2sqrt(3)

sin(x)=180

2sin^2(x)-3cos(-x)-3=0

49.55cos(θ)-30sin(θ)=1.225

tan(2x)+sin(2x)+cos(2x)=sec(2x)