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49.55cos(θ)-30sin(θ)=1.225

Solución

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

Solución

θ = π + 1.04752 \dots + 2 πn, θ = 1.00522 \dots + 2 πn

Grados

θ = 240.01903 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 57.59542 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

Sumar

30 sin (θ)

a ambos lados

49.55 cos (θ) = 1.225 + 30 sin (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(49.55 cos (θ))^{2} = (1.225 + 30 sin (θ))^{2}

Restar

(1.225 + 30 sin (θ))^{2}

de ambos lados

2455.2025 cos^{2} (θ) - 1.500625 - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1.500625 + 2455.2025 cos^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1.500625 + 2455.2025 (1 - sin^{2} (θ)) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 1.500625 + 2455.2025 (1 - sin^{2} (θ)) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ) : - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) + 2453.701875

- 1.500625 + 2455.2025 (1 - sin^{2} (θ)) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ)

Expandir

2455.2025 (1 - sin^{2} (θ)) : 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ)

2455.2025 (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2455.2025, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 2455.2025 \cdot 1 - 2455.2025 sin^{2} (θ)

= 1 \cdot 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ)

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2455.2025 = 2455.2025

= 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ)

= - 1.500625 + 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ)

Simplificar

- 1.500625 + 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ) : - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) + 2453.701875

- 1.500625 + 2455.2025 - 2455.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 2455.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 900 sin^{2} (θ) - 1.500625 + 2455.2025

Sumar elementos similares:

- 2455.2025 sin^{2} (θ) - 900 sin^{2} (θ) = - 3355.2025 sin^{2} (θ)

= - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) - 1.500625 + 2455.2025

Sumar/restar lo siguiente:

- 1.500625 + 2455.2025 = 2453.701875

= - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) + 2453.701875

= - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) + 2453.701875

= - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) + 2453.701875

2453.701875 - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

2453.701875 - 3355.2025 sin^{2} (θ) - 73.5 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

2453.701875 - 3355.2025 u^{2} - 73.5 u = 0

2453.701875 - 3355.2025 u^{2} - 73.5 u = 0 : u = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}, u = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

2453.701875 - 3355.2025 u^{2} - 73.5 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 3355.2025 u^{2} - 73.5 u + 2453.701875 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 3355.2025 u^{2} - 73.5 u + 2453.701875 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 3355.2025, b = - 73.5, c = 2453.701875

u_{1, 2} = \frac{- ( - 73.5 ) \pm ( - 73.5 ) ^{2} - 4 ( - 3355.2025 ) \cdot 2453.701875}{2 ( - 3355.2025 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 73.5 ) \pm ( - 73.5 ) ^{2} - 4 ( - 3355.2025 ) \cdot 2453.701875}{2 ( - 3355.2025 )}

(- 73.5)^{2} - 4 (- 3355.2025) \cdot 2453.701875 = 32936068.91101 \dots

(- 73.5)^{2} - 4 (- 3355.2025) \cdot 2453.701875

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 73.5)^{2} + 4 \cdot 3355.2025 \cdot 2453.701875

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 73.5)^{2} = 73. 5^{2}

= 73. 5^{2} + 4 \cdot 2453.701875 \cdot 3355.2025

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3355.2025 \cdot 2453.701875 = 32930666.66101 \dots

= 73. 5^{2} + 32930666.66101 \dots

73. 5^{2} = 5402.25

= 5402.25 + 32930666.66101 \dots

Sumar:

5402.25 + 32930666.66101 \dots = 32936068.91101 \dots

= 32936068.91101 \dots

u_{1, 2} = \frac{- ( - 73.5 ) \pm 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 73.5 ) + 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )}, u_{2} = \frac{- ( - 73.5 ) - 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )}

u = \frac{- ( - 73.5 ) + 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )} : - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}

\frac{- ( - 73.5 ) + 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{- 2 \cdot 3355.2025}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3355.2025 = 6710.405

= \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{- 6710.405}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}

u = \frac{- ( - 73.5 ) - 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )} : \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

\frac{- ( - 73.5 ) - 32936068.91101 \dots}{2 ( - 3355.2025 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{73.5 - 32936068.91101 \dots}{- 2 \cdot 3355.2025}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3355.2025 = 6710.405

= \frac{73.5 - 32936068.91101 \dots}{- 6710.405}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

73.5 - 32936068.91101 \dots = - (32936068.91101 \dots - 73.5)

= \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}, u = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}, sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}, sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405} : θ = arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}

Soluciones generales para

sin (θ) = - \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405} : θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn :

Falso

arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1

Multiplicar

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

por

θ = arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1

49.55 cos (arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1) - 30 sin (arcsin (- \frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1) = 1.225

Simplificar

50.74648 \dots = 1.225

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn :

Verdadero

π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1

Multiplicar

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

por

θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1

49.55 cos (π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1) - 30 sin (π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 π 1) = 1.225

Simplificar

1.22499 \dots = 1.225

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1

Multiplicar

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

por

θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1

49.55 cos (arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1) - 30 sin (arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1) = 1.225

Simplificar

1.225 = 1.225

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1

Multiplicar

49.55 cos (θ) - 30 sin (θ) = 1.225

por

θ = π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1

49.55 cos (π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1) - 30 sin (π - arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 π 1) = 1.225

Simplificar

- 51.88211 \dots = 1.225

\Rightarrow Falso

θ = π + arcsin (\frac{73.5 + 32936068.91101 \dots}{6710.405}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{32936068.91101 \dots - 73.5}{6710.405}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = π + 1.04752 \dots + 2 πn, θ = 1.00522 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

tan(2x)+sin(2x)+cos(2x)=sec(2x)