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Popular Trigonometría >

5sin(x)-12cos(x)=13

Solución

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Solución

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Grados

x = 157.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Sumar

12 cos (x)

a ambos lados

5 sin (x) = 13 + 12 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(5 sin (x))^{2} = (13 + 12 cos (x))^{2}

Restar

(13 + 12 cos (x))^{2}

de ambos lados

25 sin^{2} (x) - 169 - 312 cos (x) - 144 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) - 312 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Simplificar

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Expandir

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Simplificar

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= - 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Sumar elementos similares:

- 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 169 cos^{2} (x)

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Sumar/restar lo siguiente:

- 169 + 25 = - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0 : u = - \frac{12}{13}

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 169, b = - 312, c = - 144

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144) = 0

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 312)^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 312)^{2} = 31 2^{2}

= 31 2^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 169 \cdot 144 = 97344

= 31 2^{2} - 97344

31 2^{2} = 97344

= 97344 - 97344

Restar:

97344 - 97344 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm 0}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )} = - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{312}{- 2 \cdot 169}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 169 = 338

= \frac{312}{- 338}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{312}{338}

Eliminar los terminos comunes:

26

= - \frac{12}{13}

u = - \frac{12}{13}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

u = - \frac{12}{13}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13} : x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{12}{13}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{12}{13}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

por

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Simplificar

13 = 13

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Multiplicar

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

por

x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Simplificar

9.15384 \dots = 13

\Rightarrow Falso

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

6sin(θ)=1

2cos((3x-pi)/6)+1=0,0<x<2pi

2cos^2(a)+cos(a)-1=0

arctan(e^x)= pi/4

2cos^2(2x)+3cos(2x)-2=0