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20sin^2(x)-21sin(x)+4=0

Solución

20 sin^{2} (x) - 21 sin (x) + 4 = 0

Solución

x = 0.92729 \dots + 2 πn, x = π - 0.92729 \dots + 2 πn, x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Grados

x = 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

20 sin^{2} (x) - 21 sin (x) + 4 = 0

Usando el método de sustitución

20 sin^{2} (x) - 21 sin (x) + 4 = 0

Sea:

sin (x) = u

20 u^{2} - 21 u + 4 = 0

20 u^{2} - 21 u + 4 = 0 : u = \frac{4}{5}, u = \frac{1}{4}

20 u^{2} - 21 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

20 u^{2} - 21 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 20, b = - 21, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 21 ) \pm ( - 21 ) ^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 4}{2 \cdot 20}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 21 ) \pm ( - 21 ) ^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 4}{2 \cdot 20}

(- 21)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 4 = 11

(- 21)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 21)^{2} = 2 1^{2}

= 2 1^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 20 \cdot 4 = 320

= 2 1^{2} - 320

2 1^{2} = 441

= 441 - 320

Restar:

441 - 320 = 121

= 121

Descomponer el número en factores primos:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 21 ) \pm 11}{2 \cdot 20}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 21 ) + 11}{2 \cdot 20}, u_{2} = \frac{- ( - 21 ) - 11}{2 \cdot 20}

u = \frac{- ( - 21 ) + 11}{2 \cdot 20} : \frac{4}{5}

\frac{- ( - 21 ) + 11}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{21 + 11}{2 \cdot 20}

Sumar:

21 + 11 = 32

= \frac{32}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{32}{40}

Eliminar los terminos comunes:

8

= \frac{4}{5}

u = \frac{- ( - 21 ) - 11}{2 \cdot 20} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 21 ) - 11}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{21 - 11}{2 \cdot 20}

Restar:

21 - 11 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10}{40}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{1}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{4}{5}, u = \frac{1}{4}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{4}{5}, sin (x) = \frac{1}{4}

sin (x) = \frac{4}{5}, sin (x) = \frac{1}{4}

sin (x) = \frac{4}{5} : x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{4}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{4}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{4} : x = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{1}{4}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.92729 \dots + 2 πn, x = π - 0.92729 \dots + 2 πn, x = 0.25268 \dots + 2 πn, x = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Gráfica

Ejemplos populares

4tan(x)+1=0

cot^2(θ)=-cot(θ)

0.2727=sec(2.746x)-1

2sqrt(3)sin(2θ)=sqrt(3),0<= θ<2pi

cos(x)-sqrt(3)=3cos(x)